ÉTUDE DE PHYSIQUE

Étude d’une Collision Élastique sur Glace

Étude d’une Collision Élastique sur Glace

Étude d’une Collision Élastique sur Glace

Comprendre les Collisions Élastiques

En mécanique classique, une collision est dite élastique si l'énergie cinétique totale du système est conservée immédiatement avant et après la collision. Cela signifie qu'il n'y a pas de perte d'énergie sous forme de chaleur, de son ou de déformation permanente des objets. Dans de telles collisions, la quantité de mouvement totale du système est également conservée, comme c'est le cas pour toutes les collisions en l'absence de forces extérieures nettes. L'étude des collisions élastiques est fondamentale pour comprendre les interactions entre particules, des objets macroscopiques aux particules subatomiques.

Données de l'étude

Deux palets de hockey, A et B, glissent sans frottement sur une patinoire horizontale. Le palet A, de masse \(m_A = 0.5 \, \text{kg}\), se déplace vers la droite à une vitesse \(v_{A,i} = 4.0 \, \text{m/s}\). Il entre en collision frontale et élastique avec le palet B, de masse \(m_B = 0.3 \, \text{kg}\), qui se déplace initialement vers la gauche à une vitesse \(v_{B,i} = 2.0 \, \text{m/s}\).

Caractéristiques et conditions initiales :

  • Palet A :
    • Masse (\(m_A\)) : \(0.5 \, \text{kg}\)
    • Vitesse initiale (\(v_{A,i}\)) : \(+4.0 \, \text{m/s}\) (vers la droite)
  • Palet B :
    • Masse (\(m_B\)) : \(0.3 \, \text{kg}\)
    • Vitesse initiale (\(v_{B,i}\)) : \(-2.0 \, \text{m/s}\) (vers la gauche)
  • La collision est supposée parfaitement élastique et unidimensionnelle (frontale).
  • Les frottements avec la glace sont négligeables.
Schéma : Collision Élastique de Deux Palets sur Glace
Surface de glace (sans frottement) Avant Collision A vA,i B vB,i Après Collision A vA,f ? B vB,f ?

Illustration des palets avant et après la collision (vitesses finales à déterminer).

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation de la conservation de la quantité de mouvement pour le système des deux palets.
  2. Écrire l'équation de la conservation de l'énergie cinétique pour cette collision élastique.
  3. À partir des deux équations précédentes, dériver les expressions littérales des vitesses finales \(v_{A,f}\) et \(v_{B,f}\) des palets A et B après la collision.
  4. Calculer numériquement les valeurs de \(v_{A,f}\) et \(v_{B,f}\). Interpréter le signe des vitesses.
  5. Vérifier que l'énergie cinétique totale du système est bien conservée.

Correction : Étude d’une Collision Élastique sur Glace

Question 1 : Conservation de la Quantité de Mouvement

Principe :

En l'absence de forces extérieures nettes agissant sur un système (ici, les deux palets), la quantité de mouvement totale du système est conservée. La quantité de mouvement d'un objet est le produit de sa masse par sa vitesse (\(p = mv\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \vec{P}_{\text{initiale totale}} = \vec{P}_{\text{finale totale}} \] \[ m_A \vec{v}_{A,i} + m_B \vec{v}_{B,i} = m_A \vec{v}_{A,f} + m_B \vec{v}_{B,f} \]

Pour une collision unidimensionnelle, on peut utiliser les composantes scalaires des vitesses (avec des signes pour indiquer la direction).

\[ m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f} \]
Résultat Question 1 : L'équation de la conservation de la quantité de mouvement est \(m_A v_{A,i} + m_B v_{B,i} = m_A v_{A,f} + m_B v_{B,f}\).

Question 2 : Conservation de l'Énergie Cinétique

Principe :

Pour une collision parfaitement élastique, l'énergie cinétique totale du système est également conservée. L'énergie cinétique d'un objet est donnée par \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_{c, \text{initiale totale}} = E_{c, \text{finale totale}} \] \[ \frac{1}{2}m_A v_{A,i}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B,i}^2 = \frac{1}{2}m_A v_{A,f}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B,f}^2 \]

On peut simplifier en multipliant par 2 :

\[ m_A v_{A,i}^2 + m_B v_{B,i}^2 = m_A v_{A,f}^2 + m_B v_{B,f}^2 \]
Résultat Question 2 : L'équation de la conservation de l'énergie cinétique est \(m_A v_{A,i}^2 + m_B v_{B,i}^2 = m_A v_{A,f}^2 + m_B v_{B,f}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans une collision inélastique :

Question 3 : Expressions littérales des vitesses finales

Principe :

Nous avons un système de deux équations (conservation de la quantité de mouvement et conservation de l'énergie cinétique) avec deux inconnues (\(v_{A,f}\) et \(v_{B,f}\)). On peut résoudre ce système pour trouver les expressions des vitesses finales. Une manipulation courante consiste à réarranger les termes par masse.

Éq. Quantité de Mouvement : \(m_A (v_{A,i} - v_{A,f}) = m_B (v_{B,f} - v_{B,i})\) (Eq. 1)

Éq. Énergie Cinétique : \(m_A (v_{A,i}^2 - v_{A,f}^2) = m_B (v_{B,f}^2 - v_{B,i}^2)\)

En utilisant l'identité \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\), l'équation d'énergie devient :

\(m_A (v_{A,i} - v_{A,f})(v_{A,i} + v_{A,f}) = m_B (v_{B,f} - v_{B,i})(v_{B,f} + v_{B,i})\) (Eq. 2)

Si \(v_{A,i} \neq v_{A,f}\) (c'est-à-dire s'il y a collision et changement de vitesse), on peut diviser l'Eq. 2 par l'Eq. 1 :

\(v_{A,i} + v_{A,f} = v_{B,f} + v_{B,i}\), ou \(v_{A,i} - v_{B,i} = v_{B,f} - v_{A,f}\). Cette équation signifie que la vitesse relative d'approche est égale à l'opposé de la vitesse relative d'éloignement.

À partir de \(v_{B,f} = v_{A,i} + v_{A,f} - v_{B,i}\), on substitue dans l'Eq. 1 pour trouver \(v_{A,f}\), puis on utilise cette valeur pour trouver \(v_{B,f}\).

Formule(s) dérivée(s) :
\[ v_{A,f} = \frac{(m_A - m_B)v_{A,i} + 2m_B v_{B,i}}{m_A + m_B} \] \[ v_{B,f} = \frac{(m_B - m_A)v_{B,i} + 2m_A v_{A,i}}{m_A + m_B} \]

Alternativement, une fois \(v_{A,f}\) trouvée, on peut utiliser : \(v_{B,f} = v_{A,i} + v_{A,f} - v_{B,i}\).

Résultat Question 3 : Les expressions littérales des vitesses finales sont :
  • \(v_{A,f} = \frac{(m_A - m_B)v_{A,i} + 2m_B v_{B,i}}{m_A + m_B}\)
  • \(v_{B,f} = \frac{(m_B - m_A)v_{B,i} + 2m_A v_{A,i}}{m_A + m_B}\)

Question 4 : Calcul numérique des vitesses finales

Données spécifiques :
  • \(m_A = 0.5 \, \text{kg}\)
  • \(v_{A,i} = +4.0 \, \text{m/s}\)
  • \(m_B = 0.3 \, \text{kg}\)
  • \(v_{B,i} = -2.0 \, \text{m/s}\)
  • \(m_A + m_B = 0.5 \, \text{kg} + 0.3 \, \text{kg} = 0.8 \, \text{kg}\)
  • \(m_A - m_B = 0.5 \, \text{kg} - 0.3 \, \text{kg} = 0.2 \, \text{kg}\)
  • \(m_B - m_A = 0.3 \, \text{kg} - 0.5 \, \text{kg} = -0.2 \, \text{kg}\)
Calcul de \(v_{A,f}\) :
\[ \begin{aligned} v_{A,f} &= \frac{(0.2 \, \text{kg})(4.0 \, \text{m/s}) + 2(0.3 \, \text{kg})(-2.0 \, \text{m/s})}{0.8 \, \text{kg}} \\ &= \frac{0.8 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} - 1.2 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{0.8 \, \text{kg}} \\ &= \frac{-0.4 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{0.8 \, \text{kg}} \\ &= -0.5 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Le palet A recule (se déplace vers la gauche) à \(0.5 \, \text{m/s}\) après la collision.

Calcul de \(v_{B,f}\) :
\[ \begin{aligned} v_{B,f} &= \frac{(-0.2 \, \text{kg})(-2.0 \, \text{m/s}) + 2(0.5 \, \text{kg})(4.0 \, \text{m/s})}{0.8 \, \text{kg}} \\ &= \frac{0.4 \, \text{kg} \cdot \text{m/s} + 4.0 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{0.8 \, \text{kg}} \\ &= \frac{4.4 \, \text{kg} \cdot \text{m/s}}{0.8 \, \text{kg}} \\ &= +5.5 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Le palet B se déplace vers la droite à \(5.5 \, \text{m/s}\) après la collision.

Résultat Question 4 :
  • La vitesse finale du palet A est \(v_{A,f} = -0.5 \, \text{m/s}\) (vers la gauche).
  • La vitesse finale du palet B est \(v_{B,f} = +5.5 \, \text{m/s}\) (vers la droite).

Quiz Intermédiaire 2 : Si deux objets de même masse entrent en collision élastique frontale :

Question 5 : Vérification de la Conservation de l'Énergie Cinétique

Principe :

Pour confirmer que nos calculs de vitesses finales sont corrects pour une collision élastique, nous devons vérifier que l'énergie cinétique totale avant la collision est égale à l'énergie cinétique totale après la collision.

Calcul de l'Énergie Cinétique Initiale Totale (\(E_{c,i,\text{tot}}\)) :
\[ \begin{aligned} E_{c,i,\text{tot}} &= \frac{1}{2}m_A v_{A,i}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B,i}^2 \\ &= \frac{1}{2}(0.5 \, \text{kg})(4.0 \, \text{m/s})^2 + \frac{1}{2}(0.3 \, \text{kg})(-2.0 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2}(0.5)(16) \, \text{J} + \frac{1}{2}(0.3)(4) \, \text{J} \\ &= (0.25)(16) \, \text{J} + (0.15)(4) \, \text{J} \\ &= 4.0 \, \text{J} + 0.6 \, \text{J} \\ &= 4.6 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul de l'Énergie Cinétique Finale Totale (\(E_{c,f,\text{tot}}\)) :
\[ \begin{aligned} E_{c,f,\text{tot}} &= \frac{1}{2}m_A v_{A,f}^2 + \frac{1}{2}m_B v_{B,f}^2 \\ &= \frac{1}{2}(0.5 \, \text{kg})(-0.5 \, \text{m/s})^2 + \frac{1}{2}(0.3 \, \text{kg})(5.5 \, \text{m/s})^2 \\ &= \frac{1}{2}(0.5)(0.25) \, \text{J} + \frac{1}{2}(0.3)(30.25) \, \text{J} \\ &= (0.25)(0.25) \, \text{J} + (0.15)(30.25) \, \text{J} \\ &= 0.0625 \, \text{J} + 4.5375 \, \text{J} \\ &= 4.6 \, \text{J} \end{aligned} \]
Comparaison :

\(E_{c,i,\text{tot}} = 4.6 \, \text{J}\) et \(E_{c,f,\text{tot}} = 4.6 \, \text{J}\). Puisque \(E_{c,i,\text{tot}} = E_{c,f,\text{tot}}\), l'énergie cinétique est conservée, ce qui est cohérent avec une collision élastique et valide nos calculs de vitesses finales.

Résultat Question 5 : L'énergie cinétique totale initiale (\(4.6 \, \text{J}\)) est égale à l'énergie cinétique totale finale (\(4.6 \, \text{J}\)). L'énergie cinétique est conservée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Quelle quantité est TOUJOURS conservée lors d'une collision dans un système isolé ?

2. Une collision est dite "élastique" si :

3. Dans l'exercice, si le palet A avait une masse beaucoup plus grande que le palet B (ex: \(m_A \gg m_B\)) et que le palet B était initialement au repos, que se passerait-il approximativement après la collision ?

Glossaire

Collision Élastique
Une collision dans laquelle l'énergie cinétique totale du système est conservée, en plus de la quantité de mouvement totale.
Collision Inélastique
Une collision dans laquelle l'énergie cinétique totale du système n'est pas conservée (une partie est transformée en d'autres formes d'énergie, comme la chaleur ou le son). La quantité de mouvement totale est conservée si le système est isolé.
Collision Parfaitement Inélastique
Un type de collision inélastique où les objets se collent après l'impact et se déplacent ensuite comme un seul objet. La perte d'énergie cinétique est maximale dans ce cas (tout en conservant la quantité de mouvement).
Quantité de Mouvement (\(\vec{p}\))
Produit de la masse d'un objet par sa vitesse (\(\vec{p} = m\vec{v}\)). C'est une grandeur vectorielle. Sa conservation est un principe fondamental en physique pour les systèmes isolés.
Énergie Cinétique (\(E_c\))
Énergie que possède un objet en raison de son mouvement. Elle est donnée par la formule \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\). C'est une grandeur scalaire.
Système Isolé
Un système sur lequel aucune force extérieure nette n'agit. Dans un tel système, la quantité de mouvement totale est conservée.
Collision Frontale (ou Unidimensionnelle)
Une collision où le mouvement des objets avant et après la collision se produit le long d'une seule ligne droite.
Étude d’une Collision Élastique sur Glace - Exercice d'Application

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