ÉTUDE DE PHYSIQUE

Mouvement d’un Pendule

Mouvement d’un Pendule Simple en Mécanique Classique

Mouvement d’un Pendule Simple

Comprendre le Mouvement d'un Pendule Simple

Le pendule simple est un modèle idéalisé constitué d'une masse ponctuelle (appelée la masse oscillante ou "bob") suspendue à un fil inextensible de masse négligeable, fixé à un point de pivot. Lorsque la masse est écartée de sa position d'équilibre et lâchée, elle oscille sous l'effet de la gravité. Pour de petites oscillations (petits angles), le mouvement du pendule simple est approximativement un mouvement harmonique simple, caractérisé par une période et une fréquence qui dépendent de la longueur du fil et de l'accélération due à la pesanteur. L'étude du pendule simple est fondamentale en mécanique classique pour comprendre les oscillations et les concepts d'énergie potentielle et cinétique.

Données de l'étude

On considère un pendule simple.

Caractéristiques du pendule :

  • Longueur du fil (\(L\)) : \(1.00 \, \text{m}\)
  • Masse de la bille (\(m\)) : \(0.500 \, \text{kg}\)
  • Angle initial maximal par rapport à la verticale (\(\theta_{\text{max}}\)) : \(10.0^\circ\)
  • Accélération due à la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

Hypothèses : On considère les oscillations comme étant de petite amplitude (approximation des petits angles valide). On néglige la résistance de l'air et la masse du fil.

Schéma d'un Pendule Simple en Oscillation
θmax v max Pendule Simple

Oscillation d'un pendule simple.

Questions à traiter

  1. Convertir l'angle maximal \(\theta_{\text{max}}\) en radians.
  2. Calculer la période (\(T\)) des oscillations du pendule.
  3. Calculer la fréquence (\(f\)) des oscillations du pendule.
  4. Calculer la vitesse maximale (\(v_{\text{max}}\)) de la bille au point le plus bas de sa trajectoire.
  5. Calculer la magnitude de l'accélération angulaire maximale (\(\alpha_{\text{max}}\)) de la bille.

Correction : Mouvement d'un Pendule Simple

Question 1 : Conversion de l'Angle Maximal en Radians

Principe :

Pour convertir un angle de degrés en radians, on utilise la relation \(\text{radians} = \text{degrés} \times \frac{\pi}{180}\).

Données spécifiques :
  • \(\theta_{\text{max}} = 10.0^\circ\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta_{\text{max, rad}} &= 10.0^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \\ &\approx 10.0 \times \frac{3.14159}{180} \, \text{rad} \\ &\approx 0.1745329... \, \text{rad} \\ &\approx 0.1745 \, \text{rad} \quad (\text{arrondi à 4 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'angle maximal est \(\theta_{\text{max, rad}} \approx 0.1745 \, \text{rad}\).

Question 2 : Période (\(T\)) des Oscillations

Principe :

Pour de petites oscillations (approximation généralement valide pour \(\theta_{\text{max}} \leq 15^\circ\)), la période \(T\) d'un pendule simple est donnée par la formule \(T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]
Données spécifiques :
  • Longueur du fil (\(L\)) : \(1.00 \, \text{m}\)
  • Accélération due à la pesanteur (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{1.00 \, \text{m}}{9.81 \, \text{m/s}^2}} \\ &\approx 2\pi \sqrt{0.1019367... \, \text{s}^2} \\ &\approx 2\pi \times 0.319275... \, \text{s} \\ &\approx 2.0060... \, \text{s} \\ &\approx 2.01 \, \text{s} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La période des oscillations est \(T \approx 2.01 \, \text{s}\).

Question 3 : Fréquence (\(f\)) des Oscillations

Principe :

La fréquence (\(f\)) est l'inverse de la période (\(T\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f = \frac{1}{T}\]
Données calculées :
  • \(T \approx 2.0060 \, \text{s}\) (utilisation de la valeur non arrondie pour précision)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f &= \frac{1}{2.0060 \, \text{s}} \\ &\approx 0.49850... \, \text{Hz} \\ &\approx 0.499 \, \text{Hz} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La fréquence des oscillations est \(f \approx 0.499 \, \text{Hz}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la longueur d'un pendule simple est quadruplée, sa période :

Question 4 : Vitesse Maximale (\(v_{\text{max}}\))

Principe :

La vitesse maximale est atteinte au point le plus bas de la trajectoire (position d'équilibre, \(\theta = 0\)). On peut la calculer par conservation de l'énergie mécanique. L'énergie potentielle maximale (à \(\theta_{\text{max}}\)) est convertie en énergie cinétique maximale (au point le plus bas).

Hauteur maximale par rapport au point le plus bas : \(h = L(1 - \cos\theta_{\text{max}})\).

Énergie potentielle à \(\theta_{\text{max}}\) : \(E_p = mgh = mgL(1 - \cos\theta_{\text{max}})\).

Énergie cinétique au point le plus bas : \(E_k = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\).

En égalant \(E_p\) et \(E_k\) : \(mgL(1 - \cos\theta_{\text{max}}) = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{\text{max}} = \sqrt{2gL(1 - \cos\theta_{\text{max}})}\]
Données spécifiques :
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(L = 1.00 \, \text{m}\)
  • \(\theta_{\text{max}} = 10.0^\circ \Rightarrow \cos(10.0^\circ) \approx 0.98480775\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} 1 - \cos(10.0^\circ) &\approx 1 - 0.98480775 = 0.01519225 \\ v_{\text{max}} &= \sqrt{2 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.00 \, \text{m} \times (0.01519225)} \\ &= \sqrt{19.62 \times 0.01519225} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{0.2980719...} \, \text{m/s} \\ &\approx 0.545959... \, \text{m/s} \\ &\approx 0.546 \, \text{m/s} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse maximale de la bille est \(v_{\text{max}} \approx 0.546 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Magnitude de l'Accélération Angulaire Maximale (\(\alpha_{\text{max}}\))

Principe :

L'accélération angulaire (\(\alpha\)) d'un pendule simple est donnée par \(\alpha = -\frac{g}{L}\sin\theta\). Sa magnitude est maximale lorsque \(\sin\theta\) est maximal, c'est-à-dire à \(\theta = \pm\theta_{\text{max}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[|\alpha_{\text{max}}| = \frac{g}{L}|\sin\theta_{\text{max}}|\]
Données spécifiques :
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(L = 1.00 \, \text{m}\)
  • \(\theta_{\text{max}} = 10.0^\circ \Rightarrow \sin(10.0^\circ) \approx 0.173648\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |\alpha_{\text{max}}| &= \frac{9.81 \, \text{m/s}^2}{1.00 \, \text{m}} \times |\sin(10.0^\circ)| \\ &\approx 9.81 \, \text{rad/s}^2 \times 0.173648 \\ &\approx 1.70348... \, \text{rad/s}^2 \\ &\approx 1.70 \, \text{rad/s}^2 \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La magnitude de l'accélération angulaire maximale est \(|\alpha_{\text{max}}| \approx 1.70 \, \text{rad/s}^2\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'accélération angulaire d'un pendule simple est nulle lorsque :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour de petites oscillations, la période d'un pendule simple dépend principalement de :

2. La vitesse de la masse d'un pendule simple est maximale :

3. Si un pendule simple est transporté sur la Lune (où \(g\) est plus faible), sa période d'oscillation :

Glossaire

Pendule Simple
Modèle idéalisé d'un point matériel suspendu à un fil inextensible de masse négligeable, oscillant sous l'effet de la gravité.
Période (\(T\))
Temps nécessaire pour effectuer une oscillation complète (un aller-retour). Unité SI : seconde (s).
Fréquence (\(f\))
Nombre d'oscillations par unité de temps. C'est l'inverse de la période (\(f = 1/T\)). Unité SI : Hertz (Hz).
Amplitude Angulaire (\(\theta_{\text{max}}\))
Angle maximal d'écartement du pendule par rapport à sa position d'équilibre verticale.
Mouvement Harmonique Simple (MHS)
Type de mouvement oscillatoire périodique où la force de rappel est directement proportionnelle au déplacement et dirigée vers la position d'équilibre. Le mouvement d'un pendule simple pour de petits angles est une approximation du MHS.
Accélération Angulaire (\(\alpha\))
Taux de changement de la vitesse angulaire. Unité SI : radian par seconde carrée (rad/s²).
Conservation de l'Énergie Mécanique
Principe stipulant que, en l'absence de forces non conservatives (comme les frottements), l'énergie mécanique totale (somme de l'énergie cinétique et potentielle) d'un système reste constante.
Mouvement du Pendule Simple - Exercice d'Application en Mécanique Classique

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