Mouvement d’un Pendule Simple
Contexte : Le Pendule SimpleUn modèle idéalisé consistant en une masse ponctuelle suspendue à un fil sans masse et inextensible..
Le pendule simple est un modèle fondamental en mécanique classique. Il permet d'étudier les oscillations et les concepts d'énergie. Dans cet exercice, nous analyserons le mouvement d'une masse suspendue à un fil, en nous basant sur l'hypothèse des petites oscillations et sur le principe de conservation de l'énergie mécanique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer les caractéristiques clés d'un oscillateur harmonique (période, fréquence) et à appliquer le principe de conservation de l'énergie pour lier la position et la vitesse d'un système.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la formule de la période d'un pendule simple dans l'approximation des petits angles.
- Calculer la fréquence et la pulsation du mouvement oscillatoire.
- Utiliser le principe de conservation de l'énergie mécanique pour un système isolé.
- Déterminer la vitesse et l'énergie cinétique maximales du pendule.
Données de l'étude
Fiche Technique
Schéma du Pendule Simple
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse du pendule | \(m\) | 2 | kg |
| Longueur du fil | \(L\) | 1.5 | m |
| Angle initial (petit) | \(\theta_0\) | 10 | degrés |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Questions à traiter
- Calculer la période \(T\) des petites oscillations du pendule.
- En déduire la fréquence \(f\) et la pulsation propre \(\omega_0\) du mouvement.
- Calculer l'énergie potentielle initiale du pendule (à \(t=0\)), en considérant le point le plus bas comme référence (\(E_p = 0\)).
- En appliquant la conservation de l'énergie mécanique, déterminer la vitesse maximale \(v_{\text{max}}\) de la masse.
- Calculer l'énergie cinétique maximale \(E_{c,\text{max}}\) de la masse.
Les bases sur le Pendule Simple
Pour résoudre cet exercice, deux concepts fondamentaux de la mécanique sont nécessaires : la théorie des oscillateurs harmoniques et le principe de conservation de l'énergie.
1. Période des Petites Oscillations
Pour un pendule simple et dans l'hypothèse où l'angle d'oscillation \(\theta\) reste petit (généralement inférieur à 15-20°), le mouvement est considéré comme sinusoïdal. Sa période propre, c'est-à-dire la durée d'une oscillation complète, ne dépend que de la longueur du fil et de l'accélération de la pesanteur.
\[ T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]
2. Conservation de l'Énergie Mécanique
En l'absence de frottements, l'énergie mécanique totale \(E_m\) du pendule se conserve. Elle est la somme de son énergie cinétique \(E_c\) (due à sa vitesse) et de son énergie potentielle de pesanteur \(E_p\) (due à son altitude).
\[ E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{constante} \]
Correction : Mouvement d’un Pendule Simple
Question 1 : Calculer la période \(T\) des petites oscillations du pendule.
Principe
Le concept physique clé ici est l'isochronisme des petites oscillations. Cela signifie que pour de faibles angles de départ, la durée d'une oscillation complète (la période) ne dépend pas de l'amplitude du mouvement, mais uniquement des caractéristiques physiques du pendule.
Mini-Cours
L'équation du mouvement d'un pendule est \(\ddot{\theta} + (g/L)\sin\theta = 0\). Pour de petits angles (en radians), \(\sin\theta \approx \theta\). L'équation devient \(\ddot{\theta} + (g/L)\theta = 0\), qui est l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique simple de pulsation \(\omega_0 = \sqrt{g/L}\). La période \(T_0\) est liée à la pulsation par \(T_0=2\pi/\omega_0\).
Remarque Pédagogique
La première chose à vérifier est si l'hypothèse des "petites oscillations" est valide. L'angle de 10° est généralement considéré comme suffisamment petit pour que l'approximation \(\sin\theta \approx \theta\) soit très précise, ce qui justifie l'utilisation de la formule simplifiée.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire ici, mais la formule utilisée est une loi fondamentale de la mécanique Newtonienne, universellement acceptée et enseignée dans tous les manuels de physique de base.
Formule(s)
Formule de la période propre
Hypothèses
Le calcul repose sur plusieurs hypothèses simplificatrices :
- Le fil est inextensible et de masse négligeable.
- La masse est ponctuelle.
- Il n'y a pas de frottement (ni avec l'air, ni au point de pivot).
- L'angle d'oscillation est suffisamment petit pour que \(\sin\theta \approx \theta\).
Donnée(s)
Nous extrayons les chiffres d'entrée pertinents de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur du fil | \(L\) | 1.5 | m |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Pour une estimation rapide sur Terre, on peut utiliser l'approximation \(g \approx \pi^2 \approx 9.87\). La formule devient \(T_0 \approx 2\pi\sqrt{L/\pi^2} = 2\sqrt{L}\). Pour \(L=1.5\) m, on obtiendrait \(T_0 \approx 2\sqrt{1.5} \approx 2 \times 1.22 = 2.44\) s, ce qui est très proche du résultat exact.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres du Pendule
Calcul(s)
Application Numérique
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Période
Réflexions
Une période de 2.46 secondes signifie qu'il faut près de deux secondes et demie au pendule pour faire un aller-retour complet. C'est un rythme assez lent, caractéristique d'un pendule relativement long.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de prendre la racine carrée du rapport \(L/g\). Une autre erreur est d'utiliser des unités incohérentes, par exemple la longueur en centimètres sans la convertir en mètres.
Points à retenir
- La période d'un pendule simple (petits angles) est \(T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}\).
- Elle est indépendante de la masse \(m\) et de l'amplitude initiale \(\theta_0\).
- Une plus grande longueur \(L\) augmente la période, tandis qu'une plus grande gravité \(g\) la diminue.
Le saviez-vous ?
C'est en observant le balancement d'un lustre dans la cathédrale de Pise que Galilée, encore étudiant, aurait eu l'intuition de l'isochronisme des petites oscillations du pendule. Cette découverte a ouvert la voie à la conception d'horloges beaucoup plus précises.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la période de ce même pendule sur la Lune, où l'accélération de la pesanteur est \(g_{\text{Lune}} \approx 1.62\) m/s² ?
Question 2 : En déduire la fréquence \(f\) et la pulsation propre \(\omega_0\).
Principe
Le concept est que la période, la fréquence et la pulsation sont trois facettes de la même réalité physique : la rapidité de l'oscillation. Elles sont mathématiquement liées et décrivent le même mouvement périodique.
Mini-Cours
La fréquence (\(f\)) est l'inverse de la période. Elle compte le nombre de cycles complets par seconde. La pulsation (\(\omega_0\)), ou fréquence angulaire, est une mesure de la vitesse de rotation. Elle est très utilisée dans l'écriture des équations de mouvement (\(\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega_0 t + \phi)\)) car elle simplifie les notations.
Remarque Pédagogique
Retenez bien le sens physique : une période longue (\(T\) grand) signifie que le mouvement est lent, donc peu d'oscillations par seconde (\(f\) petit). Une période courte (\(T\) petit) signifie un mouvement rapide et donc une fréquence élevée (\(f\) grand).
Normes
Les unités utilisées sont définies par le Système International (SI) : la fréquence en Hertz (Hz), équivalent à des s⁻¹, et la pulsation en radian par seconde (rad/s).
Formule(s)
Formule de la fréquence
Formule de la pulsation
Hypothèses
Ce calcul suppose que le mouvement est parfaitement périodique, ce qui découle des hypothèses de la question 1 (pas de frottement).
Donnée(s)
Nous utilisons le résultat de la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Période calculée | \(T_0\) | 2.456 | s |
Astuces
On peut aussi calculer la pulsation directement à partir de \(L\) et \(g\) avec la formule \(\omega_0 = \sqrt{g/L}\). C'est souvent plus rapide et plus précis car cela évite d'utiliser une valeur de période déjà arrondie.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation de Fresnel
Calcul(s)
Calcul de la fréquence \(f\)
Calcul de la pulsation \(\omega_0\)
Schéma (Après les calculs)
Fréquence sur l'axe du temps
Réflexions
Une fréquence de 0.41 Hz signifie que le pendule effectue 0.41 oscillation par seconde. Autrement dit, il faut attendre \(1/0.41 = 2.45\) s pour voir une oscillation complète, ce qui est cohérent avec la période calculée. La pulsation de 2.56 rad/s signifie que l'angle de phase du mouvement progresse de 2.56 radians (environ 146°) chaque seconde.
Points de vigilance
Ne pas confondre la fréquence \(f\) (en Hz) et la pulsation \(\omega_0\) (en rad/s). Elles sont proportionnelles mais différentes d'un facteur \(2\pi\). Vérifiez toujours les unités demandées dans une question.
Points à retenir
- La fréquence est l'inverse de la période : \(f = 1/T\).
- La pulsation est la fréquence multipliée par \(2\pi\) : \(\omega_0 = 2\pi f\).
- Le trio (\(T\), \(f\), \(\omega_0\)) décrit la temporalité du même mouvement.
Le saviez-vous ?
Le Hertz (Hz) a été nommé en l'honneur du physicien allemand Heinrich Hertz, qui a été le premier à prouver de manière concluante l'existence des ondes électromagnétiques prédites par la théorie de James Clerk Maxwell.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Un moteur tourne à 3000 tours par minute (rpm). Quelle est sa fréquence en Hz ?
Question 3 : Calculer l'énergie potentielle initiale du pendule.
Principe
Le concept est que l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet dépend de sa masse et de son altitude par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement. On doit donc d'abord déterminer l'altitude initiale de la masse par rapport à son point le plus bas.
Mini-Cours
L'énergie potentielle ne dépend que de la position verticale \(h\). La hauteur initiale \(h\) peut être exprimée en fonction de la longueur \(L\) et de l'angle initial \(\theta_0\) par la relation géométrique :
\[ h = L - L\cos(\theta_0) = L(1 - \cos(\theta_0)) \]Remarque Pédagogique
Le choix du point de référence pour l'énergie potentielle (\(E_p = 0\)) est crucial. Le choix le plus judicieux est presque toujours la position la plus basse atteinte par l'objet, car cela simplifie les calculs : l'énergie potentielle y sera nulle et l'énergie cinétique maximale.
Normes
La formule de l'énergie potentielle de pesanteur, \(E_p = mgh\), est une définition standard en mécanique classique, valable pour un champ de gravité uniforme.
Formule(s)
Formule géométrique de la hauteur
Formule de l'énergie potentielle
Hypothèses
On suppose que le champ de gravité est uniforme sur toute la hauteur du mouvement, ce qui est une excellente approximation pour un pendule de cette taille.
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 2 | kg |
| Longueur | \(L\) | 1.5 | m |
| Angle initial | \(\theta_0\) | 10 | degrés |
| Gravité | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Pour les très petits angles exprimés en radians, on peut utiliser l'approximation \(1 - \cos(\theta_0) \approx \theta_0^2/2\). Ici, \(10^\circ \approx 0.1745\) rad. L'approximation donnerait \(h \approx 1.5 \times (0.1745^2/2) \approx 0.0228\) m, ce qui est identique à notre calcul précis !
Schéma (Avant les calculs)
Géométrie pour le calcul de h
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la hauteur \(h\)
Étape 2 : Calcul de l'énergie potentielle initiale \(E_{p,0}\)
Schéma (Après les calculs)
Diagramme d'Énergie Potentielle
Réflexions
Une énergie de 0.45 Joules correspond à l'énergie nécessaire pour soulever un poids de 2 kg (environ 20 Newtons) sur une hauteur de 2.28 cm. C'est cette énergie qui sera convertie en énergie de mouvement pendant l'oscillation.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est une erreur de conversion d'angle. La plupart des calculatrices sont en mode "degrés" par défaut, ce qui fonctionne pour prendre un cosinus, mais si vous utilisez des approximations (comme l'astuce ci-dessus), l'angle DOIT être en radians.
Points à retenir
- L'énergie potentielle dépend du choix de l'origine (ici, le point le plus bas).
- La hauteur de départ \(h\) est donnée par \(L(1 - \cos\theta_0)\).
- L'énergie potentielle initiale représente l'énergie totale du système s'il est lâché sans vitesse.
Le saviez-vous ?
Le concept d' "énergie potentielle" a été introduit par l'ingénieur et physicien écossais William Rankine au milieu du XIXe siècle pour décrire l'énergie "stockée" dans un système en raison de sa configuration ou de sa position.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'énergie potentielle initiale si l'angle de départ était de 15 degrés.
Question 4 : Déterminer la vitesse maximale \(v_{\text{max}}\) de la masse.
Principe
Le principe fondamental ici est la conservation de l'énergie mécanique. En l'absence de frottements, l'énergie totale du système ne change pas. L'énergie potentielle initiale (quand la vitesse est nulle) se transforme entièrement en énergie cinétique (quand la hauteur est nulle), permettant de calculer la vitesse maximale.
Mini-Cours
L'énergie mécanique totale est \(E_m = E_c + E_p\). Au point de départ (position 1), \(v_1=0\) donc \(E_{m,1} = E_{p,1} = mgh\). Au point le plus bas (position 2), \(h_2=0\) donc \(E_{m,2} = E_{c,2} = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\). La conservation (\(E_{m,1}=E_{m,2}\)) implique \(mgh = \frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2\).
Remarque Pédagogique
La conservation de l'énergie est un outil extrêmement puissant. Elle permet de trouver des relations entre la vitesse et la position sans avoir à résoudre l'équation du mouvement, qui est souvent beaucoup plus complexe. C'est une approche "globale" par opposition à l'approche "locale" des forces.
Normes
La conservation de l'énergie est l'un des principes les plus fondamentaux de la physique, valable bien au-delà de la mécanique classique.
Formule(s)
Bilan énergétique
Formule de la vitesse maximale
Hypothèses
La seule hypothèse cruciale ici est que le système est conservatif, c'est-à-dire qu'il n'y a aucune force non conservative (comme les frottements de l'air) qui travaille et dissipe l'énergie mécanique.
Donnée(s)
On utilise la hauteur \(h\) calculée à la question précédente.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur de chute | \(h\) | 0.0228 | m |
| Gravité | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
Notez que la masse se simplifie dans l'équation. La vitesse maximale ne dépend pas de la masse ! Une boule de pétanque et une balle de ping-pong lâchées de la même hauteur (attachées à des fils de même longueur) auront la même vitesse maximale au point le plus bas (en négligeant les frottements de l'air).
Schéma (Avant les calculs)
États d'Énergie du Pendule
Calcul(s)
Application Numérique
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des Énergies
Réflexions
Une vitesse de 0.67 m/s, soit environ 2.4 km/h, est une vitesse modérée. Cela semble cohérent pour un pendule lâché d'une hauteur d'à peine 2.3 cm.
Points de vigilance
Attention à ne pas oublier la racine carrée. Une erreur fréquente est de calculer \(2gh\) et de donner ce résultat comme étant la vitesse. Vérifiez toujours la cohérence des unités : \(\sqrt{\text{m/s}^2 \times \text{m}} = \sqrt{\text{m}^2/\text{s}^2} = \text{m/s}\), ce qui est bien une vitesse.
Points à retenir
- La conservation de l'énergie lie directement la hauteur et la vitesse : \(E_p\) se transforme en \(E_c\).
- La vitesse est maximale quand l'énergie potentielle est minimale (et inversement).
- La vitesse maximale \(v_{\text{max}}\) ne dépend pas de la masse du pendule.
Le saviez-vous ?
La mathématicienne française Émilie du Châtelet (1706-1749) a joué un rôle clé dans l'établissement du concept d'énergie. En traduisant et en commentant les "Principia" de Newton, elle a contribué à montrer que l'énergie d'un objet en mouvement ("force vive" à l'époque) était proportionnelle à sa masse et au carré de sa vitesse (\(mv^2\)), et non juste à sa vitesse (\(mv\)) comme le pensaient d'autres savants.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Si on voulait que la vitesse maximale soit exactement de 1 m/s, de quelle hauteur \(h\) faudrait-il lâcher le pendule ?
Question 5 : Calculer l'énergie cinétique maximale \(E_{c, \text{max}}\).
Principe
Cette question est une application directe de la définition de l'énergie cinétique et du principe de conservation de l'énergie. Elle permet de vérifier la cohérence de l'ensemble des calculs.
Mini-Cours
L'énergie cinétique est l'énergie que possède un corps du fait de son mouvement. Elle est nulle au repos et augmente avec le carré de la vitesse. Comme la vitesse est maximale au point le plus bas, l'énergie cinétique y est également maximale.
Remarque Pédagogique
Cette question peut être résolue de deux manières : un calcul direct avec la vitesse, ou un argument de conservation d'énergie. Utiliser la deuxième méthode (égalité avec l'énergie potentielle initiale) est souvent plus élégant et moins sujet aux erreurs de calcul en cascade.
Normes
La définition de l'énergie cinétique \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\) et son unité, le Joule (J), sont des standards du Système International.
Formule(s)
Formule de l'énergie cinétique
Principe de conservation
Hypothèses
Les mêmes hypothèses que pour la question 4 s'appliquent : le système est conservatif.
Donnée(s)
On utilise la masse et la vitesse maximale calculée, ou l'énergie potentielle initiale.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | 2 | kg |
| Vitesse maximale | \(v_{\text{max}}\) | 0.669 | m/s |
Astuces
Utiliser la conservation de l'énergie est la meilleure astuce ici. Nous avons déjà calculé \(E_{p,0} \approx 0.447\) J à la question 3. Comme il n'y a pas de frottement, \(E_{c,\text{max}}\) doit être égal à cette valeur. Cela nous donne une vérification immédiate de notre calcul de \(v_{\text{max}}\).
Schéma (Avant les calculs)
Conversion d'Énergie
Calcul(s)
Application Numérique
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des Énergies
Réflexions
Le résultat \(E_{c,\text{max}} \approx 0.45\) J est quasiment identique à \(E_{p,0} \approx 0.45\) J. Cette cohérence valide l'ensemble de notre raisonnement et de nos calculs basés sur la conservation de l'énergie. L'énergie mécanique totale du système est constante et vaut environ 0.45 J.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre la vitesse au carré dans la formule. Pensez-y toujours : l'énergie est proportionnelle à \(v^2\). Une vitesse doublée signifie une énergie cinétique quadruplée.
Points à retenir
- L'énergie cinétique est \(E_c = \frac{1}{2}mv^2\).
- Pour un système conservatif, l'énergie cinétique maximale est égale à l'énergie potentielle maximale.
- L'énergie mécanique totale est la somme constante \(E_c(t) + E_p(t) = E_m\).
Le saviez-vous ?
Le Joule (J), l'unité d'énergie, est nommé d'après le physicien anglais James Prescott Joule. Ses expériences méticuleuses dans les années 1840 ont établi l'équivalence entre le travail mécanique et la chaleur, un pilier fondamental de la thermodynamique et du principe de conservation de l'énergie.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'énergie cinétique maximale d'un pendule de 3 kg est de 6 Joules, quelle est sa vitesse maximale ?
Outil Interactif : Simulateur de Période
Utilisez les curseurs pour voir comment la longueur du fil et la gravité influencent la période d'oscillation d'un pendule simple.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la longueur du fil d'un pendule, sa période est...
2. La période d'un pendule simple dépend de :
3. Au point le plus bas de sa trajectoire, l'énergie du pendule est :
4. Si on emmène un pendule sur la Lune (où la gravité est plus faible), sa période va :
5. La fréquence d'un pendule se mesure en :
- Période (\(T\))
- Durée nécessaire pour effectuer une oscillation complète (un aller-retour). Unité : seconde (s).
- Fréquence (\(f\))
- Nombre d'oscillations effectuées par unité de temps. C'est l'inverse de la période (\(f=1/T\)). Unité : Hertz (Hz).
- Pulsation (\(\omega_0\))
- Vitesse angulaire associée au mouvement oscillatoire, liée à la fréquence par \(\omega_0=2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
- Énergie Mécanique (\(E_m\))
- Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Dans un système sans frottement, elle est constante.
D’autres exercices de mécanique classique:
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