ÉTUDE DE PHYSIQUE

Mouvement d’un Satellite en Orbite Géostationnaire

Mouvement d'un Satellite en Orbite Géostationnaire

Mouvement d'un Satellite en Orbite Géostationnaire

Comprendre l'Orbite Géostationnaire

Une orbite géostationnaire est une orbite circulaire située dans le plan de l'équateur terrestre, pour laquelle la période de révolution du satellite est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même. Pour un observateur au sol, un satellite en orbite géostationnaire apparaît comme un point fixe dans le ciel. Cette propriété est essentielle pour les satellites de télécommunication et de télédiffusion.

Pour qu'un satellite maintienne cette orbite, la force de gravitation exercée par la Terre doit fournir exactement la force centripète nécessaire au mouvement circulaire. Cet équilibre, régi par les lois de la mécanique de Newton, ne peut être atteint qu'à une altitude très spécifique.

Données de l'étude

On souhaite calculer l'altitude et la vitesse d'un satellite de masse \(m_s\) pour qu'il soit en orbite géostationnaire autour de la Terre.

Données physiques et astronomiques :

  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • Masse de la Terre (\(M_T\)) : \(5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • Rayon équatorial de la Terre (\(R_T\)) : \(6378 \, \text{km}\)
  • Période de rotation sidérale de la Terre (\(T\)) : 23 h 56 min 4 s
Schéma : Orbite Géostationnaire
{/* Orbite */} {/* Terre */} Terre {/* Satellite */} Satellite {/* Lignes de dimension */} R_T h r = R_T + h

Un satellite en orbite circulaire autour de la Terre à une altitude \(h\).

Questions à traiter

  1. Convertir la période de rotation sidérale de la Terre \(T\) en secondes.
  2. Appliquer la deuxième loi de Newton au satellite en supposant une orbite circulaire uniforme. La seule force agissant sur le satellite est la force de gravitation de la Terre. Établir une première relation entre la vitesse orbitale \(v\) du satellite et le rayon de son orbite \(r\).
  3. Exprimer la vitesse orbitale \(v\) en fonction du rayon de l'orbite \(r\) et de la période de révolution \(T\).
  4. En combinant les deux relations trouvées précédemment, dériver l'expression littérale du rayon de l'orbite géostationnaire \(r\).
  5. Calculer la valeur numérique du rayon \(r\), puis en déduire l'altitude \(h\) du satellite par rapport à la surface de la Terre.
  6. Calculer la vitesse orbitale \(v\) du satellite.

Correction : Calcul de l'Orbite Géostationnaire

Question 1 : Période de Révolution en Secondes

Principe :

Il est crucial d'utiliser la période de rotation sidérale (rotation par rapport aux étoiles fixes), et non la période solaire (24h). Nous devons convertir cette durée en secondes pour être cohérents avec les unités du Système International.

Calcul :
\[ \begin{aligned} T &= 23 \, \text{h} \times 3600 \, \text{s/h} + 56 \, \text{min} \times 60 \, \text{s/min} + 4 \, \text{s} \\ &= 82800 \, \text{s} + 3360 \, \text{s} + 4 \, \text{s} \\ &= 86164 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La période de l'orbite géostationnaire est \(T = 86164 \, \text{s}\).

Question 2 : Application de la Deuxième Loi de Newton

Principe :

Le mouvement du satellite est circulaire et uniforme. L'accélération est donc purement centripète (\(a_c = v^2/r\)). Cette accélération est provoquée par la force de gravitation exercée par la Terre (\(F_g = G M_T m_s / r^2\)). La deuxième loi de Newton s'écrit \(\Sigma \vec{F} = m\vec{a}\).

Formulation :
\[ \begin{aligned} F_g &= m_s a_c \\ \frac{G M_T m_s}{r^2} &= m_s \frac{v^2}{r} \\ \frac{G M_T}{r} &= v^2 \end{aligned} \]

On obtient donc la relation : \(v^2 = \frac{G M_T}{r}\).

Résultat Question 2 : La relation issue de la deuxième loi de Newton est \(v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}\).

Question 3 : Expression de la Vitesse en Fonction de la Période

Principe :

La vitesse d'un objet en mouvement circulaire uniforme est la circonférence de la trajectoire divisée par le temps nécessaire pour la parcourir (la période).

Formule :
\[v = \frac{2 \pi r}{T}\]
Résultat Question 3 : La vitesse orbitale est aussi donnée par \(v = \frac{2 \pi r}{T}\).

Question 4 : Expression Littérale du Rayon de l'Orbite

Principe :

Nous avons deux expressions différentes pour la vitesse \(v\) (ou \(v^2\)). En les égalant, nous pouvons isoler le rayon \(r\), qui est la seule inconnue restante (G, M_T et T sont des constantes connues).

Calcul :
\[ \begin{aligned} v^2 &= v^2 \\ \frac{G M_T}{r} &= \left(\frac{2 \pi r}{T}\right)^2 \\ \frac{G M_T}{r} &= \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2} \\ G M_T T^2 &= 4 \pi^2 r^3 \\ r^3 &= \frac{G M_T T^2}{4 \pi^2} \\ r &= \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4 \pi^2}} \end{aligned} \]

Cette relation est la troisième loi de Kepler pour les orbites circulaires.

Résultat Question 4 : Le rayon de l'orbite géostationnaire est \(r = \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4 \pi^2}}\).

Question 5 : Calcul Numérique du Rayon \(r\) et de l'Altitude \(h\)

Principe :

On remplace les constantes par leurs valeurs numériques pour calculer \(r\). L'altitude \(h\) est alors la différence entre le rayon de l'orbite et le rayon de la Terre (\(h = r - R_T\)). Toutes les unités doivent être dans le Système International (mètres, kg, secondes).

Calcul :

Conversion des données : \(R_T = 6378 \, \text{km} = 6.378 \times 10^6 \, \text{m}\).

\[ \begin{aligned} r^3 &= \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.972 \times 10^{24}) \cdot (86164)^2}{4 \pi^2} \\ &= \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \cdot (5.972 \times 10^{24}) \cdot (7.424 \times 10^9)}{39.478} \\ &\approx \frac{2.959 \times 10^{24}}{39.478} \\ &\approx 7.495 \times 10^{22} \, \text{m}^3 \\ \\ r &= \sqrt[3]{7.495 \times 10^{22}} \, \text{m} \\ &\approx 4.216 \times 10^7 \, \text{m} = 42160 \, \text{km} \\ \\ h &= r - R_T \\ &= 42160 \, \text{km} - 6378 \, \text{km} \\ &= 35782 \, \text{km} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le rayon de l'orbite géostationnaire est d'environ \(r \approx 42160 \, \text{km}\), ce qui correspond à une altitude \(h \approx 35782 \, \text{km}\).

Question 6 : Calcul de la Vitesse Orbitale \(v\)

Principe :

Maintenant que nous connaissons le rayon \(r\) et la période \(T\), nous pouvons facilement calculer la vitesse en utilisant la formule \(v = 2 \pi r / T\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} v &= \frac{2 \pi \cdot (4.216 \times 10^7 \, \text{m})}{86164 \, \text{s}} \\ &= \frac{2.649 \times 10^8 \, \text{m}}{86164 \, \text{s}} \\ &\approx 3074 \, \text{m/s} \\ &\approx 3.07 \, \text{km/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La vitesse d'un satellite en orbite géostationnaire est d'environ \(v \approx 3.07 \, \text{km/s}\) (soit plus de 11000 km/h).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un satellite géostationnaire doit être placé :

2. Si la masse de la Terre était plus grande, l'altitude de l'orbite géostationnaire :

3. La vitesse d'un satellite en orbite géostationnaire dépend de :

Glossaire

Orbite Géostationnaire
Orbite circulaire située à une altitude spécifique (environ 35 786 km) dans le plan équatorial de la Terre, sur laquelle un satellite a une période de révolution égale à la période de rotation sidérale de la Terre. Le satellite semble donc immobile depuis le sol.
Force de Gravitation Universelle
Force d'attraction entre deux corps massiques, décrite par la loi de Newton : \(F_g = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\). C'est la force qui maintient les satellites en orbite.
Période de Révolution (T)
Temps nécessaire pour qu'un objet complète une orbite autour d'un autre objet.
Période de Rotation Sidérale
Temps que met un corps céleste pour effectuer une rotation complète sur lui-même par rapport aux étoiles fixes. Pour la Terre, c'est environ 23 h 56 min 4 s.
Force Centripète
Force résultante qui pointe vers le centre d'un cercle et qui est nécessaire pour maintenir un objet en mouvement circulaire uniforme. Pour un satellite, cette force est fournie par la gravité.
Orbite Géostationnaire - Exercice d'Application

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