Mouvement d’une Toupie Symétrique
Contexte : La mécanique Lagrangienne et les solides en rotation.
Le mouvement d'une toupie est un problème classique mais fascinant de la mécanique. Bien que son comportement puisse paraître complexe, il est parfaitement décrit par les lois de la physique. Cet exercice vous guidera dans l'analyse du mouvement d'une toupie symétriqueUn solide rigide possédant un axe de symétrie de révolution. Deux de ses moments d'inertie principaux sont égaux (I₁ = I₂). en rotation autour d'un point fixe, soumise à la gravité. Nous utiliserons le formalisme Lagrangien et les angles d'EulerUn ensemble de trois angles (précession, nutation, rotation propre) permettant de décrire l'orientation d'un solide dans l'espace. pour décrire son orientation et découvrir les phénomènes de précessionLe mouvement lent et conique de l'axe de rotation d'un objet en rotation. et de nutationUne oscillation ou "hochement" de l'axe de rotation qui se superpose au mouvement de précession..
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il illustre l'élégance et la puissance de la mécanique Lagrangienne pour résoudre des problèmes complexes de rotation. Il permet de comprendre comment des symétries dans un système physique mènent directement à des lois de conservation.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le formalisme Lagrangien à un solide en rotation.
- Utiliser les angles d'Euler pour décrire l'orientation d'un corps rigide.
- Identifier les symétries et les quantités conservées (lois de conservation).
- Comprendre et distinguer les mouvements de précession et de nutation.
Données de l'étude
Schéma de la Toupie Symétrique
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse de la toupie | \(m\) | 2 | \(\text{kg}\) |
| Distance OG | \(l\) | 0.1 | \(\text{m}\) |
| Moment d'inertie (axe de symétrie) | \(I_3\) | 0.02 | \(\text{kg} \cdot \text{m}^2\) |
| Moment d'inertie (axe transverse) | \(I_1\) | 0.04 | \(\text{kg} \cdot \text{m}^2\) |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | 9.81 | \(\text{m/s}^2\) |
Questions à traiter
- Écrire le Lagrangien du système en fonction des angles d'Euler et de leurs dérivées.
- Identifier les coordonnées cycliques et en déduire les quantités conservées (moments conjugués).
- Dériver l'équation du mouvement pour l'angle de nutation \(\theta\).
- Déterminer la condition sur la vitesse de rotation propre pour qu'un mouvement de précession uniforme soit possible à un angle \(\theta_0\) donné.
- La toupie est lancée avec \(\theta(0) = 30^\circ\), \(\dot{\theta}(0) = 0\), \(\dot{\phi}(0) = 5 \, \text{rad/s}\) et \(\dot{\psi}(0) = 50 \, \text{rad/s}\). Le mouvement sera-t-il stable ? Calculez les moments conjugués \(p_\phi\) et \(p_\psi\).
Les bases sur la Mécanique de la Toupie
Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur le formalisme Lagrangien, particulièrement adapté aux systèmes avec des contraintes. La clé est d'exprimer les énergies cinétique et potentielle en utilisant un jeu de coordonnées généralisées approprié, ici les angles d'Euler.
1. Angles d'Euler \((\phi, \theta, \psi)\)
Ils décrivent l'orientation d'un repère mobile \((x, y, z)\) lié à la toupie par rapport à un repère fixe \((X, Y, Z)\).
- \(\phi\) (précession) : rotation autour de l'axe Z.
- \(\theta\) (nutation) : rotation autour de la "ligne des nœuds".
- \(\psi\) (rotation propre) : rotation autour de l'axe de symétrie z de la toupie.
2. Énergie Cinétique d'un Solide Symétrique
Pour une toupie symétrique (\(I_1 = I_2\)), l'énergie cinétique de rotation s'exprime simplement en fonction des vitesses angulaires (\(\omega_1, \omega_2, \omega_3\)) dans le repère mobile :
\[ T = \frac{1}{2} I_1 (\omega_1^2 + \omega_2^2) + \frac{1}{2} I_3 \omega_3^2 \]
En fonction des angles d'Euler, cela devient :
\[ T = \frac{1}{2} I_1 (\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta) + \frac{1}{2} I_3 (\dot{\psi} + \dot{\phi} \cos\theta)^2 \]
3. Lagrangien et Équations d'Euler-Lagrange
Le Lagrangien est défini par \(L = T - V\), où \(T\) est l'énergie cinétique et \(V\) l'énergie potentielle. Les équations du mouvement pour chaque coordonnée généralisée \(q_i\) sont données par :
\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]
Correction : Mouvement d’une Toupie Symétrique
Question 1 : Écrire le Lagrangien du système
Principe
Le concept physique central ici est que la dynamique complète d'un système conservatif peut être décrite par une seule fonction scalaire, le Lagrangien, définie comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
Mini-Cours
L'énergie cinétique (\(T\)) est l'énergie du mouvement, tandis que l'énergie potentielle (\(V\)) est l'énergie stockée en raison de la position du système dans un champ de force (ici, la gravité). Le formalisme Lagrangien est puissant car il ne traite qu'avec des scalaires, évitant la complexité des forces et des accélérations vectorielles de la mécanique newtonienne.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours la même : choisir judicieusement les coordonnées généralisées qui décrivent le système (ici, les angles d'Euler sont un choix naturel) puis exprimer \(T\) et \(V\) dans ces coordonnées. C'est un processus méthodique.
Normes
Ce problème relève de la mécanique classique théorique. Il n'y a pas de "normes" réglementaires comme en ingénierie civile, mais on suit les conventions et définitions établies par des figures comme Euler, Lagrange et Hamilton.
Formule(s)
Définition du Lagrangien
Énergie Cinétique de Rotation
Énergie Potentielle de Pesanteur
Hypothèses
Le cadre du calcul est défini par plusieurs hypothèses simplificatrices.
- La toupie est un solide rigide indéformable.
- Le point de contact O est un pivot fixe sans frottement.
- La toupie est symétrique (\(I_1 = I_2\)).
- Le champ de gravité est uniforme.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée pour cette question sont symboliques.
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(m, l\) | Masse et distance au centre de masse |
| \(I_1, I_3\) | Moments d'inertie principaux |
Astuces
L'expression de l'énergie cinétique peut sembler intimidante. Rappelez-vous qu'elle est la somme de l'énergie due à la rotation autour de l'axe de symétrie et de l'énergie due à la rotation de cet axe lui-même.
Schéma (Avant les calculs)
Configuration et Coordonnées de la Toupie
Calcul(s)
On assemble les différentes parties. L'énergie cinétique est une formule standard pour les toupies symétriques. L'énergie potentielle dépend de l'altitude du centre de masse G, \(z_G = l \cos\theta\).
Calcul de l'Énergie Potentielle
Assemblage du Lagrangien
Schéma (Après les calculs)
Composition du Lagrangien
Réflexions
Le Lagrangien obtenu est une fonction qui contient toute l'information sur la dynamique du système. Les termes en \(\dot{q_i}^2\) sont liés à l'inertie, et le terme en \(\cos\theta\) est lié au couple exercé par la gravité.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est le signe de l'énergie potentielle. Rappelez-vous que \(L = T - V\). Un signe incorrect ici changera complètement la dynamique du système.
Points à retenir
Pour tout système mécanique, la première étape est de trouver le Lagrangien. Maîtrisez la décomposition en énergie cinétique et potentielle, et leur expression dans les bonnes coordonnées.
Le saviez-vous ?
Joseph-Louis Lagrange a développé ce formalisme au 18ème siècle. Son but était de transformer la mécanique, alors basée sur la géométrie (les vecteurs de Newton), en une branche de l'analyse mathématique, où les problèmes sont résolus par des procédures algorithmiques de dérivation.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Comment le Lagrangien changerait-il si la toupie était en apesanteur (\(g=0\))? Entrez la partie du Lagrangien qui disparaîtrait.
Question 2 : Identifier les quantités conservées
Principe
Le concept physique est le théorème de Noether : toute symétrie continue d'un système physique engendre une loi de conservation. En formalisme Lagrangien, une symétrie se manifeste par une coordonnée "cyclique", c'est-à-dire une coordonnée qui n'apparaît pas dans le Lagrangien.
Mini-Cours
Une coordonnée \(q_i\) est dite cyclique si \(\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\). Dans ce cas, l'équation d'Euler-Lagrange se simplifie en \(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}) = 0\), ce qui signifie que la quantité \(p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\), appelée moment conjugué, est une constante du mouvement.
Remarque Pédagogique
Le conseil du professeur est de toujours commencer par inspecter le Lagrangien à la recherche de variables qui n'y apparaissent pas. C'est le chemin le plus rapide pour trouver les constantes du mouvement, qui simplifient énormément la résolution du problème.
Normes
Pas de normes réglementaires applicables. On applique les principes fondamentaux de la mécanique analytique.
Formule(s)
Définition du Moment Conjugué Conservé
Hypothèses
Le cadre du calcul est un système dont la physique est entièrement décrite par le Lagrangien de la question 1. La symétrie de révolution autour de l'axe Z et de l'axe z de la toupie est implicite dans la forme du Lagrangien.
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(L\) | Lagrangien du système (de la Q1) |
Astuces
Pour aller plus vite, associez physiquement les symétries aux conservations. Le système est invariant par rotation autour de l'axe vertical Z ? Le moment cinétique vertical se conserve. Il est invariant par rotation autour de son propre axe z ? Le moment cinétique le long de cet axe se conserve.
Schéma (Avant les calculs)
Axes de Symétrie et Rotations
Calcul(s)
On observe que \(L\) ne dépend ni de \(\phi\) ni de \(\psi\). On calcule donc les dérivées partielles par rapport à \(\dot{\phi}\) et \(\dot{\psi}\).
Calcul du Moment Conjugué de \(\psi\)
Calcul du Moment Conjugué de \(\phi\)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Moments Conservés
Réflexions
L'interprétation de ces résultats est fondamentale : \(p_\psi\) est la composante du moment cinétique le long de l'axe de la toupie, et \(p_\phi\) est la composante du moment cinétique le long de l'axe vertical fixe. La physique nous dit que comme aucun couple externe n'agit pour changer ces composantes, elles doivent être conservées.
Points de vigilance
L'erreur à éviter est d'oublier la règle de dérivation en chaîne. Le terme \((\dot{\psi} + \dot{\phi} \cos\theta)^2\) contient \(\dot{\phi}\), donc sa dérivée par rapport à \(\dot{\phi}\) n'est pas nulle. C'est une source d'erreur fréquente.
Points à retenir
Pour maîtriser la question, retenez le lien direct : Coordonnée absente du Lagrangien \(\Rightarrow\) Coordonnée cyclique \(\Rightarrow\) Moment conjugué associé conservé.
Le saviez-vous ?
Le théorème de Noether, formulé par la mathématicienne Emmy Noether en 1915, est l'un des piliers de la physique théorique. Il relie les lois de conservation à l'invariance des lois physiques sous certaines transformations (symétries). Par exemple, l'invariance dans le temps implique la conservation de l'énergie.
FAQ
Questions fréquentes pour lever les doutes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la toupie tourne verticalement (\(\theta=0\)), que vaut \(p_\phi\) en fonction de \(p_\psi\)? Entrez la formule.
Question 3 : Dériver l'équation du mouvement pour \(\theta\)
Principe
Le mouvement de toute coordonnée non-cyclique est régi par une équation dynamique. Nous utilisons l'équation d'Euler-Lagrange pour la coordonnée \(\theta\) afin de trouver la relation qui lie son accélération \(\ddot{\theta}\) aux autres variables du système.
Mini-Cours
L'équation d'Euler-Lagrange \(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\) est l'équivalent de la loi fondamentale de la dynamique de Newton (\(F=ma\)) dans le formalisme Lagrangien. Le terme \(\frac{\partial L}{\partial q_i}\) est appelé "force généralisée", et le terme \(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}})\) est lié à la variation de la "quantité de mouvement généralisée".
Remarque Pédagogique
Ce calcul est un exercice de dérivation partielle. Il faut être très méthodique. Calculez d'abord chaque dérivée partielle séparément (\(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\) et \(\frac{\partial L}{\partial \theta}\)), puis assemblez le tout. N'essayez pas de tout faire d'un coup.
Normes
Les règles suivies sont celles du calcul différentiel et des principes de la mécanique analytique.
Formule(s)
Équation d'Euler-Lagrange pour \(\theta\)
Hypothèses
Nous utilisons les mêmes hypothèses que pour la construction du Lagrangien (solide rigide, pivot fixe, etc.).
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(L\) | Lagrangien du système (de la Q1) |
Astuces
Pour simplifier le calcul de \(\frac{\partial L}{\partial \theta}\), il est utile de substituer \(p_\psi\) dans l'expression dès que possible, comme cela a été fait dans la correction détaillée ci-dessous. Cela réduit le nombre de termes à manipuler.
Schéma (Avant les calculs)
Forces Généralisées sur \(\theta\)
Calcul(s)
On applique l'équation d'Euler-Lagrange étape par étape.
Étape 1 : Calcul de \(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\)
Étape 2 : Calcul de \(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}})\)
Étape 3 : Calcul de \(\frac{\partial L}{\partial \theta}\)
Étape 4 : Assemblage de l'équation
Schéma (Après les calculs)
Trajectoire de Nutation
Réflexions
Cette équation différentielle du second ordre régit la nutation. Elle est couplée à \(\dot{\phi}\). On peut utiliser les lois de conservation pour exprimer \(\dot{\phi}\) en fonction de \(\theta\) et des constantes \(p_\phi\) et \(p_\psi\), ce qui permettrait (en théorie) de la résoudre pour \(\theta(t)\).
Points de vigilance
Attention aux signes, notamment lors de la dérivation des termes en \(\cos\theta\). Une erreur de signe sur le terme de gravité, par exemple, décrirait un système physiquement incorrect où la gravité aiderait la toupie à se redresser.
Points à retenir
La maîtrise de l'application de l'équation d'Euler-Lagrange est essentielle. C'est la procédure standard pour obtenir les équations du mouvement pour toutes les coordonnées qui ne sont pas cycliques.
Le saviez-vous ?
La nutation de l'axe de la Terre, une petite oscillation de période 18.6 ans, est un phénomène analogue. Elle a été découverte par l'astronome James Bradley au 18ème siècle et est principalement due aux forces de marée exercées par la Lune.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Que devient l'équation si la toupie n'est pas en rotation propre (\(p_\psi = 0\))? Entrez l'équation simplifiée.
Question 4 : Condition de précession uniforme
Principe
Un mouvement de précession est dit "uniforme" si l'angle de nutation \(\theta\) reste constant à une valeur \(\theta_0\). Cela implique que la vitesse et l'accélération de nutation sont nulles : \(\dot{\theta} = 0\) et \(\ddot{\theta} = 0\). C'est un état d'équilibre dynamique.
Mini-Cours
Dans cet état, le couple dû à la gravité, qui tend à faire tomber la toupie, est exactement compensé par l'effet gyroscopique, qui tend à la redresser. Cet effet est proportionnel à la vitesse de rotation propre et à la vitesse de précession. L'équilibre n'est possible que si la toupie tourne suffisamment vite sur elle-même.
Remarque Pédagogique
Pour trouver des conditions d'équilibre ou de mouvement stationnaire, la stratégie est toujours la même : poser les dérivées temporelles des variables concernées (ici \(\dot{\theta}\) et \(\ddot{\theta}\)) à zéro dans les équations du mouvement.
Normes
Pas de normes réglementaires applicables.
Formule(s)
Équation du Mouvement de \(\theta\)
Hypothèses
On fait l'hypothèse d'un mouvement de précession uniforme, donc \(\theta = \theta_0 = \text{constante}\) et \(\dot{\phi} = \text{constante}\). On suppose aussi que \(\sin\theta_0 \neq 0\) (la toupie n'est pas parfaitement verticale).
Donnée(s)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(\ddot{\theta}, \dot{\theta}\) | Accélération et vitesse de nutation (nulles) |
| \(\theta_0\) | Angle de nutation constant |
Astuces
Après avoir simplifié l'équation, vous obtiendrez une équation du second degré en \(\dot{\phi}\). Plutôt que de la résoudre, analysez son discriminant. Une solution réelle pour \(\dot{\phi}\) n'existe que si le discriminant est positif ou nul, ce qui vous donnera directement la condition de stabilité.
Schéma (Avant les calculs)
Mouvement de Précession Uniforme
Calcul(s)
On reprend l'équation du mouvement de \(\theta\) et on y applique les conditions \(\theta = \theta_0\) et \(\ddot{\theta} = 0\).
Étape 1 : Simplification de l'équation
Comme \(\sin\theta_0 \neq 0\), on peut diviser par ce terme :
Étape 2 : Analyse de l'équation quadratique
On réarrange pour voir l'équation du second degré en \(\dot{\phi}\) :
Pour qu'une solution réelle pour \(\dot{\phi}\) existe, le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) doit être non-négatif.
Étape 3 : Condition de stabilité
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Stabilité
Réflexions
Cette condition nous dit que pour un angle d'inclinaison donné \(\theta_0\), la toupie doit tourner sur elle-même suffisamment vite (avoir un \(p_\psi\) assez grand) pour que la précession uniforme soit stable. Si elle ne tourne pas assez vite, elle tombera. C'est l'effet gyroscopique.
Points de vigilance
Ne concluez pas trop vite que l'équation du second degré a toujours deux solutions. Si le discriminant est nul, il n'y a qu'une seule vitesse de précession possible. Si le discriminant est négatif, aucune précession uniforme n'est possible à cet angle et avec cette vitesse de rotation propre.
Points à retenir
La stabilité d'un mouvement de rotation est un équilibre entre le couple déstabilisateur (gravité) et l'effet gyroscopique stabilisateur (rotation propre). Cette condition mathématique en est la parfaite illustration.
Le saviez-vous ?
Ce même principe de stabilité gyroscopique est ce qui permet à un vélo de tenir en équilibre. Les roues en rotation agissent comme des gyroscopes. C'est aussi pour cela qu'il est beaucoup plus difficile de tenir à l'arrêt qu'en mouvement.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour une toupie verticale (\(\theta_0 \to 0\)), la condition de stabilité est-elle plus facile ou plus difficile à satisfaire ?
Question 5 : Calcul pour les conditions initiales données
Principe
Les moments conjugués \(p_\phi\) et \(p_\psi\) sont des constantes du mouvement. Leur valeur est donc fixée par les conditions initiales au temps \(t=0\) et reste la même pour toute la durée du mouvement. Nous allons simplement appliquer les formules avec les valeurs numériques.
Mini-Cours
Les conditions initiales (position et vitesse de chaque coordonnée à \(t=0\)) sont fondamentales en mécanique. Elles permettent de déterminer les valeurs des constantes d'intégration (ici, les quantités conservées), ce qui sélectionne une trajectoire unique parmi toutes celles qui sont physiquement possibles.
Remarque Pédagogique
C'est l'étape de l'application numérique. La clé est d'être rigoureux avec les unités. Ici, tout est déjà dans le Système International (kg, m, s, rad), donc il n'y a pas de conversion à faire, mais il faut toujours le vérifier.
Normes
Pas de normes réglementaires applicables.
Formule(s)
Formule du Moment Conjugué \(p_\psi\)
Formule du Moment Conjugué \(p_\phi\)
Condition de Stabilité
Hypothèses
On suppose que les valeurs numériques données sont précises et que le système se comporte comme décrit dans les questions précédentes.
Donnée(s)
Ce sont les chiffres de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle de nutation initial | \(\theta(0)\) | 30 | degrés |
| Vitesse de précession initiale | \(\dot{\phi}(0)\) | 5 | rad/s |
| Vitesse de rotation propre initiale | \(\dot{\psi}(0)\) | 50 | rad/s |
Astuces
Calculez d'abord les valeurs de \(\cos(30^\circ)\) et \(\sin(30^\circ)\) et mettez-les de côté pour ne pas avoir à les retaper. \(\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2 \approx 0.866\), \(\sin(30^\circ) = 1/2 = 0.5\).
Schéma (Avant les calculs)
État Initial de la Toupie
Calcul(s)
On applique les formules avec les valeurs numériques.
Calcul de \(p_\psi\)
Calcul de \(p_\phi\)
Vérification de la Stabilité
Schéma (Après les calculs)
Position sur le Diagramme de Stabilité
Réflexions
Comme \(1.181 > 0.272\), la condition de stabilité est largement satisfaite. Cela signifie que l'énergie cinétique de rotation est suffisamment grande pour contrer le couple de la gravité. La toupie ne tombera pas et aura un mouvement de nutation stable autour de \(\theta=30^\circ\).
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode radians ou degrés selon la façon dont vous entrez les angles. Ici, comme on utilise \(\cos(30^\circ)\), le mode degré est approprié, mais les vitesses angulaires sont en rad/s.
Points à retenir
Les conditions initiales fixent les constantes du mouvement. Une fois ces constantes calculées, elles permettent de prédire le comportement futur du système, comme sa stabilité.
Le saviez-vous ?
Les systèmes de guidage inertiel des fusées, avions et sous-marins utilisent des gyroscopes de très haute précision. En mesurant leur précession, ils peuvent déterminer l'orientation du véhicule sans aucune référence externe, en se basant uniquement sur la conservation du moment cinétique.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les mêmes conditions initiales, que vaudrait \(p_\psi\) si la toupie était deux fois plus lourde (\(m=4\) kg)?
Outil Interactif : Stabilité de la Précession
Utilisez cet outil pour explorer la condition de stabilité pour une précession uniforme. Variez la vitesse de rotation propre et l'angle d'inclinaison pour voir quand le mouvement devient instable (la toupie "tombe").
Paramètres d'Entrée
Analyse de Stabilité
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans le Lagrangien de la toupie, pourquoi l'angle de précession \(\phi\) est-il considéré comme cyclique ?
2. La quantité conservée \(p_\phi\) correspond à :
3. Le mouvement d'oscillation de l'angle \(\theta\) est appelé :
4. Pour qu'une toupie "dorme" (reste verticale sans précession), il faut que :
5. Si l'on augmente la vitesse de rotation propre \(\dot{\psi}\) d'une toupie en précession, la vitesse de précession \(\dot{\phi}\) va généralement :
- Angles d'Euler
- Un ensemble de trois angles \((\phi, \theta, \psi)\) qui décrivent l'orientation d'un corps rigide par rapport à un repère fixe. Ils correspondent à trois rotations successives.
- Lagrangien
- Une fonction scalaire, \(L = T - V\), qui décrit la dynamique d'un système. \(T\) est l'énergie cinétique et \(V\) est l'énergie potentielle.
- Moment d'Inertie
- Une grandeur qui mesure la résistance d'un corps à la mise en rotation. Elle dépend de la masse du corps et de la répartition de cette masse par rapport à l'axe de rotation.
- Nutation
- Le mouvement d'oscillation de l'axe de rotation d'un gyroscope ou d'une toupie. C'est la variation de l'angle \(\theta\).
- Précession
- Le mouvement conique lent de l'axe de rotation d'un corps en rotation soumis à un couple. C'est la variation de l'angle \(\phi\).
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