Mouvement d'une Toupie Symétrique

Comprendre le Mouvement d'une Toupie Symétrique

La toupie symétrique est un objet rigide en rotation autour d'un point fixe, possédant un axe de symétrie de révolution. Son mouvement, sous l'action de la gravité, est un exemple classique de la dynamique des corps rigides et peut être particulièrement complexe, incluant des phénomènes de précession et de nutation. L'étude de la toupie est souvent abordée à l'aide du formalisme Lagrangien ou Hamiltonien, en utilisant les angles d'Euler comme coordonnées généralisées pour décrire son orientation dans l'espace. Comprendre son mouvement a des applications allant des gyroscopes aux systèmes de navigation inertielle.

Données de l'étude

On considère une toupie symétrique de masse \(M\), dont le point de contact O avec le sol est fixe. Le centre de masse G est situé sur l'axe de symétrie de la toupie, à une distance \(l\) du point O. Les moments d'inertie principaux par rapport au centre de masse G sont \(I_1 = I_2\) (autour des axes transversaux) et \(I_3\) (autour de l'axe de symétrie).

Paramètres du système :

Masse de la toupie : \(M\)
Distance OG : \(l\)
Moments d'inertie principaux par rapport à G : \(I_1\) (ou \(I_x = I_y\)) et \(I_3\) (ou \(I_z\))
Accélération due à la gravité : \(g\)
Coordonnées généralisées (angles d'Euler) :
- \(\phi\) : angle de précession (rotation autour de l'axe vertical Z fixe)
- \(\theta\) : angle de nutation (inclinaison de l'axe de la toupie par rapport à la verticale Z)
- \(\psi\) : angle de rotation propre (rotation de la toupie autour de son axe de symétrie)

Objectif : Établir le Lagrangien du système. Le point de pivot O est fixe.

Schéma : Toupie Symétrique et Angles d'Euler

Schéma d'une toupie symétrique avec son point de pivot O, son centre de masse G, et les angles d'Euler \(\phi, \theta, \psi\).

Questions à traiter

Exprimer les composantes de la vitesse angulaire \(\vec{\omega}\) de la toupie dans le repère mobile lié à la toupie (\(x', y', z'\), où \(z'\) est l'axe de symétrie) en fonction de \(\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi}\) et \(\theta\).
Écrire l'énergie cinétique de rotation (\(T\)) de la toupie en fonction de ses moments d'inertie principaux (\(I_1, I_3\)) et des composantes de la vitesse angulaire. (On néglige l'énergie cinétique de translation du centre de masse si le point O est fixe).
Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur (\(V\)) de la toupie en fonction de \(M, g, l\) et \(\theta\), en prenant le plan horizontal passant par O comme référence (\(Z=0\)).
Écrire le Lagrangien \(L = T - V\) du système.
Identifier les coordonnées cycliques (ou ignorables) du Lagrangien. Quelles grandeurs sont conservées en conséquence ?

Correction : Mouvement d'une Toupie Symétrique

Question 1 : Composantes de la Vitesse Angulaire \(\vec{\omega}\)

Principe :

La vitesse angulaire \(\vec{\omega}\) peut être exprimée en fonction des dérivées temporelles des angles d'Euler. Dans le repère lié à la toupie (axes principaux d'inertie), les composantes sont :

Formule(s) utilisée(s) :

\begin{aligned} \omega_{x'} &= \dot{\phi} \sin\theta \sin\psi + \dot{\theta} \cos\psi \\ \omega_{y'} &= \dot{\phi} \sin\theta \cos\psi - \dot{\theta} \sin\psi \\ \omega_{z'} &= \dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi} \end{aligned}

Où \(z'\) est l'axe de symétrie de la toupie.

Résultat Question 1 : Les composantes de la vitesse angulaire dans le repère mobile lié à la toupie sont :

\(\omega_{x'} = \dot{\phi} \sin\theta \sin\psi + \dot{\theta} \cos\psi\)
\(\omega_{y'} = \dot{\phi} \sin\theta \cos\psi - \dot{\theta} \sin\psi\)
\(\omega_{z'} = \dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi}\)

Question 2 : Énergie Cinétique de Rotation (\(T\))

Principe :

L'énergie cinétique de rotation d'un corps rigide par rapport à son centre de masse est donnée par \(T = \frac{1}{2} (I_1 \omega_{x'}^2 + I_2 \omega_{y'}^2 + I_3 \omega_{z'}^2)\). Pour une toupie symétrique, \(I_1 = I_2\). Si le point de pivot O est fixe et que l'on considère la rotation autour de O, il faut utiliser les moments d'inertie par rapport à O. Cependant, il est souvent plus simple de calculer l'énergie cinétique comme \(T = \frac{1}{2} M v_G^2 + T_{\text{rotation/G}}\). Si O est fixe, \(v_G\) dépend de \(\dot{\theta}\) et \(\dot{\phi}\). Pour une toupie dont le point de contact O est fixe, et en utilisant les moments d'inertie par rapport à O (\(I_O\)), l'énergie cinétique est \(T = \frac{1}{2} (I_{O,1} (\omega_{x'}^2 + \omega_{y'}^2) + I_{O,3} \omega_{z'}^2)\) si les axes \(x', y', z'\) sont les axes principaux d'inertie passant par O. Plus classiquement, pour une toupie avec un point fixe O, on utilise les moments d'inertie par rapport à ce point O. Soit \(I_A = I_B\) les moments d'inertie par rapport aux axes transversaux passant par O, et \(I_C\) le moment d'inertie par rapport à l'axe de symétrie passant par O. En utilisant les moments d'inertie principaux \(I_1, I_1, I_3\) par rapport au centre de masse G, et en ajoutant l'énergie cinétique du centre de masse : \(T = \frac{1}{2}Mv_G^2 + \frac{1}{2}(I_1\omega_{x'}^2 + I_1\omega_{y'}^2 + I_3\omega_{z'}^2)\). Les coordonnées de G sont \( (l\sin\theta\sin\phi, -l\sin\theta\cos\phi, -l\cos\theta) \) si l'origine O est fixe et Z vertical ascendant. Si Z est descendant et Y est à gauche : \( (l\sin\theta\cos\phi, l\sin\theta\sin\phi, l\cos\theta) \). Pour cet exercice, nous allons utiliser une expression simplifiée souvent utilisée pour la toupie symétrique avec point de pivot fixe, en termes des moments d'inertie principaux \(I_1\) (transversal) et \(I_3\) (axial) par rapport au point de pivot O.

L'énergie cinétique de rotation d'un corps rigide avec un point fixe O est \(T = \frac{1}{2} \vec{\omega} \cdot \mathbf{I}_O \cdot \vec{\omega}\), où \(\mathbf{I}_O\) est le tenseur d'inertie en O. Si les axes du corps sont des axes principaux d'inertie, \(T = \frac{1}{2} (I_{O,x'} \omega_{x'}^2 + I_{O,y'} \omega_{y'}^2 + I_{O,z'} \omega_{z'}^2)\). Pour une toupie symétrique, \(I_{O,x'} = I_{O,y'} = I_1\) (moment d'inertie transversal par rapport à O) et \(I_{O,z'} = I_3\) (moment d'inertie axial par rapport à O, qui est le même que par rapport à G si l'axe \(z'\) passe par G).

Formule(s) utilisée(s) :

T = \frac{1}{2} I_1 (\omega_{x'}^2 + \omega_{y'}^2) + \frac{1}{2} I_3 \omega_{z'}^2

En substituant les composantes de \(\omega\):

\begin{aligned} \omega_{x'}^2 + \omega_{y'}^2 &= (\dot{\phi} \sin\theta \sin\psi + \dot{\theta} \cos\psi)^2 + (\dot{\phi} \sin\theta \cos\psi - \dot{\theta} \sin\psi)^2 \\ &= \dot{\phi}^2 \sin^2\theta \sin^2\psi + \dot{\theta}^2 \cos^2\psi + 2\dot{\phi}\dot{\theta}\sin\theta\sin\psi\cos\psi \\ & \quad + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta \cos^2\psi + \dot{\theta}^2 \sin^2\psi - 2\dot{\phi}\dot{\theta}\sin\theta\cos\psi\sin\psi \\ &= \dot{\phi}^2 \sin^2\theta (\sin^2\psi + \cos^2\psi) + \dot{\theta}^2 (\cos^2\psi + \sin^2\psi) \\ &= \dot{\phi}^2 \sin^2\theta + \dot{\theta}^2 \end{aligned}

T = \frac{1}{2} I_1 (\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta) + \frac{1}{2} I_3 (\dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi})^2

Note : \(I_1\) et \(I_3\) sont ici les moments d'inertie principaux par rapport au point de pivot O. Si on utilisait les moments par rapport à G, il faudrait ajouter l'énergie cinétique de G.

Résultat Question 2 : L'énergie cinétique de rotation est \(T = \frac{1}{2} I_1 (\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta) + \frac{1}{2} I_3 (\dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi})^2\).

Question 3 : Énergie Potentielle de Pesanteur (\(V\))

Principe :

L'énergie potentielle de pesanteur est \(V = Mgh_{\text{G}}\), où \(h_{\text{G}}\) est l'altitude du centre de masse G par rapport au plan de référence (passant par O). Si l'axe Z est vertical ascendant et O est à Z=0, alors \(h_{\text{G}} = l \cos\theta\). Si Z est descendant, \(y_G = l \cos\theta\), donc \(V = -Mg y_G = -Mgl \cos\theta\). Nous avons défini y vers le bas, donc \(y_G = l \cos\theta\). L'énergie potentielle est \(V = - M g y_G\). Si le niveau de référence pour l'énergie potentielle est le plan horizontal passant par O, et que l'axe Z est vertical ascendant, l'altitude de G est \(Z_G = l \cos\theta\). Donc \(V = MgZ_G = Mgl \cos\theta\). Avec notre convention (y vers le bas, O à y=0), \(y_G = l \cos\theta\). L'énergie potentielle est \(V = - M g y_G = -Mgl \cos\theta\). Cependant, il est plus standard de prendre \(V=0\) au point le plus bas possible ou à une référence fixe. Si on prend \(V=0\) quand la toupie est verticale (\(\theta=0\), G au plus bas \(y=l\)), alors \(V = Mg(l - y_G) = Mg(l - l\cos\theta) = Mgl(1-\cos\theta)\). Si l'on prend \(V=0\) au niveau du point de pivot O, et que l'axe vertical est orienté vers le haut, alors \(Z_G = l \cos\theta\), et \(V = MgZ_G = Mgl \cos\theta\). Si l'axe vertical est orienté vers le bas (comme nos coordonnées y), \(y_G = l \cos\theta\), et on définit souvent \(V = -Mg y_G\) si le zéro de l'énergie potentielle est à \(y=0\) (au point O). Pour cet exercice, nous allons utiliser la convention où l'énergie potentielle est \(V = M g Z_G\), avec \(Z_G\) la hauteur du centre de masse par rapport au plan horizontal passant par O, et l'axe Z vertical dirigé vers le haut. Donc \(Z_G = l \cos\theta\).

Formule(s) utilisée(s) :

V = M g l \cos\theta

(En prenant le plan horizontal passant par O comme référence \(Z=0\), et Z orienté vers le haut. Si Z est vers le bas, \(V = -Mgl\cos\theta\). Le choix de l'orientation de l'axe vertical pour l'énergie potentielle est important. Si on suit le schéma avec y vers le bas, \(y_G = l\cos\theta\). L'énergie potentielle est \(U = -Mgy_G = -Mgl\cos\theta\).)

Pour être cohérent avec la plupart des textes sur la toupie, on prendra \(V = Mgl \cos\theta\), où \(\theta=0\) correspond à la toupie verticale (G au plus haut par rapport à O si on inversait l'axe Z, ou G à une distance \(l\) de O le long de l'axe Z). Si l'axe Z est vertical ascendant et O est l'origine, alors la coordonnée Z du centre de masse G est \(z_G = l \cos\theta\). L'énergie potentielle est \(V = Mgz_G\).

Résultat Question 3 : L'énergie potentielle de pesanteur est \(V = M g l \cos\theta\).

Question 4 : Lagrangien \(L = T - V\)

Principe :

Le Lagrangien est la différence entre l'énergie cinétique totale et l'énergie potentielle totale.

Calcul :

L = \frac{1}{2} I_1 (\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta) + \frac{1}{2} I_3 (\dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi})^2 - M g l \cos\theta

Résultat Question 4 : Le Lagrangien du système est : \[L = \frac{1}{2} I_1 (\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta) + \frac{1}{2} I_3 (\dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi})^2 - M g l \cos\theta\]

Quiz Intermédiaire 1 : Le Lagrangien d'un système mécanique conservatif est :

L'énergie totale du système.
La différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
La somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
L'énergie potentielle uniquement.

Question 5 : Coordonnées Cycliques et Grandeurs Conservées

Principe :

Une coordonnée généralisée \(q_k\) est dite cyclique (ou ignorable) si elle n'apparaît pas explicitement dans le Lagrangien \(L\), c'est-à-dire si \(\frac{\partial L}{\partial q_k} = 0\). Le moment conjugué associé à une coordonnée cyclique, \(p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\), est une grandeur conservée (une constante du mouvement).

Analyse du Lagrangien :

Le Lagrangien est : \[L = \frac{1}{2} I_1 (\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2 \sin^2\theta) + \frac{1}{2} I_3 (\dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi})^2 - M g l \cos\theta\]

Dépendance en \(\theta\) : Oui (dans \(\sin^2\theta\), \(\cos\theta\)). Donc \(\theta\) n'est pas cyclique.
Dépendance en \(\phi\) : Non, \(\phi\) n'apparaît pas explicitement (seulement sa dérivée \(\dot{\phi}\)). Donc \(\phi\) est une coordonnée cyclique.
Dépendance en \(\psi\) : Non, \(\psi\) n'apparaît pas explicitement (seulement sa dérivée \(\dot{\psi}\)). Donc \(\psi\) est une coordonnée cyclique.

Moments conjugués conservés :

Moment conjugué associé à \(\phi\) : \(p_\phi\)

\begin{aligned} p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} &= I_1 (\dot{\phi} \sin^2\theta) + I_3 (\dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi}) \cos\theta \\ &= (I_1 \sin^2\theta + I_3 \cos^2\theta)\dot{\phi} + I_3 \dot{\psi} \cos\theta \end{aligned}

Cette grandeur, \(p_\phi\), est conservée. Elle correspond à la composante du moment cinétique total selon l'axe Z fixe.

Moment conjugué associé à \(\psi\) : \(p_\psi\)

\begin{aligned} p_\psi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}} &= I_3 (\dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi}) \\ &= I_3 \omega_{z'} \end{aligned}

Cette grandeur, \(p_\psi\), est conservée. Elle correspond à la composante du moment cinétique total selon l'axe de symétrie \(z'\) de la toupie.

Résultat Question 5 :

Les coordonnées cycliques sont \(\phi\) et \(\psi\).
Les grandeurs conservées associées sont les moments conjugués \(p_\phi = (I_1 \sin^2\theta + I_3 \cos^2\theta)\dot{\phi} + I_3 \dot{\psi} \cos\theta\) (moment cinétique selon l'axe Z fixe) et \(p_\psi = I_3 (\dot{\phi} \cos\theta + \dot{\psi})\) (moment cinétique selon l'axe de symétrie de la toupie).

Quiz Intermédiaire 2 : Si une coordonnée généralisée est cyclique, cela implique que :

L'énergie potentielle ne dépend pas de cette coordonnée.
L'énergie cinétique ne dépend pas de la vitesse associée à cette coordonnée.
Le moment conjugué associé à cette coordonnée est conservé.
La coordonnée elle-même est constante.

Glossaire

Toupie Symétrique: Corps rigide possédant un axe de symétrie de révolution (deux de ses moments d'inertie principaux sont égaux) et un point fixe (pivot).
Angles d'Euler (\(\phi, \theta, \psi\)): Ensemble de trois angles utilisés pour décrire l'orientation d'un corps rigide par rapport à un système de coordonnées fixe. \(\phi\) est la précession, \(\theta\) la nutation, et \(\psi\) la rotation propre.
Moment d'Inertie Principal: Valeur caractérisant la distribution de la masse d'un corps rigide par rapport à un axe de rotation principal. Pour une toupie symétrique, on distingue \(I_1 = I_2\) (transversaux) et \(I_3\) (axial).
Vitesse Angulaire (\(\vec{\omega}\)): Vecteur décrivant la vitesse de rotation d'un corps et la direction de l'axe de rotation.
Lagrangien (\(L\)): Fonction scalaire \(L = T - V\), où T est l'énergie cinétique et V est l'énergie potentielle du système. Il est central dans la formulation Lagrangienne de la mécanique.
Coordonnée Cyclique (ou Ignorable): Coordonnée généralisée qui n'apparaît pas explicitement dans le Lagrangien. Le moment conjugué associé à une coordonnée cyclique est une constante du mouvement (grandeur conservée).
Moment Conjugué (\(p_k\)): Défini comme \(p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\), où \(q_k\) est une coordonnée généralisée et \(\dot{q}_k\) sa vitesse généralisée.
Précession: Mouvement de rotation de l'axe de rotation d'un corps tournant (comme une toupie) autour d'une autre direction (souvent la verticale).
Nutation: Oscillation de l'axe de rotation d'un corps tournant autour de sa position moyenne de précession.

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