Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques
Contexte : Le couplageInteraction entre deux ou plusieurs oscillateurs qui leur permet d'échanger de l'énergie. en mécanique.
L'étude des oscillateurs couplés est un domaine fondamental de la physique qui décrit comment des systèmes vibrants interagissent entre eux. Un exemple classique et très visuel est celui de deux pendules identiques reliés par un ressort. Ce système simple permet d'observer des phénomènes complexes et fascinants, comme le transfert d'énergie d'un pendule à l'autre, connu sous le nom de phénomène de battementSuperposition de deux oscillations de fréquences proches, résultant en une variation périodique de l'amplitude de l'oscillation résultante., et l'existence de modes de vibration collectifs appelés modes normauxMouvement d'un système oscillant dans lequel toutes les parties se déplacent sinusoïdalement à la même fréquence et avec une relation de phase fixe..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans la modélisation mathématique du système, de l'établissement des équations du mouvement à la découverte des modes propres d'oscillation, qui sont la clé pour comprendre la dynamique de n'importe quel système couplé.
Objectifs Pédagogiques
- Établir les équations différentielles du mouvement pour un système de deux pendules couplés.
- Utiliser le concept de modes normaux pour découpler et simplifier le système d'équations.
- Calculer les pulsations (fréquences angulaires) propres des modes normaux.
- Analyser et interpréter physiquement le mouvement des deux modes normaux (symétrique et antisymétrique).
- Comprendre l'origine du phénomène de battement par la superposition des modes normaux.
Données de l'étude
Schéma du système de pendules couplés
| Caractéristique | Symbole | Description |
|---|---|---|
| Masse du pendule | \(m\) | Masse ponctuelle à l'extrémité de chaque fil. |
| Longueur du fil | \(l\) | Fil inextensible et de masse négligeable. |
| Raideur du ressort | \(k\) | Constante de raideur du ressort de couplage. |
| Accélération de la pesanteur | \(g\) | Champ de pesanteur uniforme. |
Questions à traiter
On étudie les petites oscillations autour de la position d'équilibre stable (\(x_1=x_2=0\)). On note \(x_1(t)\) et \(x_2(t)\) les déplacements horizontaux des deux masses par rapport à leur position d'équilibre.
- Dans l'approximation des petits angles (\(x \approx l\theta\)), établir les deux équations différentielles couplées du mouvement pour \(x_1(t)\) et \(x_2(t)\).
- En introduisant les coordonnées normales \(X_S = x_1 + x_2\) (mode symétrique) et \(X_A = x_1 - x_2\) (mode antisymétrique), montrer que le système se découple en deux équations d'oscillateurs harmoniques indépendants.
- Déterminer les pulsations propres \(\omega_S\) et \(\omega_A\) de ces deux modes normaux.
- Décrire physiquement le mouvement des pendules pour chaque mode normal. Quel est le rôle du ressort dans chaque cas ?
- On lance le système avec les conditions initiales : \(x_1(0) = A\) et \(x_2(0)=0\) (avec des vitesses nulles). Exprimer \(x_1(t)\) et \(x_2(t)\) en fonction du temps et décrire le phénomène de battement observé.
Les bases sur les Oscillateurs Couplés
Avant de commencer, revoyons quelques concepts essentiels.
1. Le pendule simple
Pour un pendule simple, l'équation du mouvement pour de petites oscillations est celle d'un oscillateur harmonique :
\[ \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \quad \text{avec} \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} \]
où \(\omega_0\) est la pulsation propre du pendule.
2. Principe de Superposition
Pour un système régi par des équations différentielles linéaires (notre cas), si une solution est une combinaison de mouvements, alors le mouvement global est la somme de ces solutions. C'est ce principe qui nous permettra de construire une solution générale à partir des modes normaux.
Correction : Oscillations Couplées de Deux Pendules Identiques
Question 1 : Établissement des équations du mouvement
Principe (le concept physique)
Nous appliquons la deuxième loi de Newton (Principe Fondamental de la Dynamique) à chaque masse individuellement. Le mouvement de chaque masse est déterminé par la somme des forces qui s'exercent sur elle : la gravité, la tension du fil, et l'interaction avec l'autre masse via le ressort.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Loi de Hooke : Un ressort de raideur \(k\) étiré ou comprimé d'une longueur \(\Delta L\) par rapport à sa longueur à vide exerce une force de rappel d'intensité \(F = k \cdot |\Delta L|\). La force est dirigée dans le sens opposé à la déformation.
Pendule Simple : Pour un petit angle \(\theta\), la composante de la force de gravité qui ramène la masse vers l'équilibre est \(F_r \approx -mg\theta\). En coordonnées cartésiennes, cela devient \(F_r \approx -(mg/l)x\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La méthode la plus sûre est de toujours commencer par un bilan des forces complet pour chaque corps isolé. Dessinez un schéma pour chaque masse (diagramme du corps libre) et représentez toutes les forces. Projetez ensuite ces forces sur les axes de votre système de coordonnées (ici, l'axe horizontal suffit).
Normes (la référence réglementaire)
Ce problème relève de la mécanique classique fondamentale. Il n'y a pas de "norme" réglementaire comme en ingénierie civile, mais les principes utilisés (lois de Newton) sont les fondations universellement acceptées de la dynamique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Deuxième loi de Newton
Loi de Hooke
Hypothèses (le cadre du calcul)
- On se place dans l'approximation des petites oscillations : \(\sin\theta \approx \theta\) et \(x \approx l\theta\).
- Les fils sont inextensibles et de masse négligeable.
- Le ressort est parfait (sans masse) et suit la loi de Hooke.
- Les frottements sont négligés.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Paramètre | Description |
|---|---|
| \(m\), \(l\) | Masse et longueur des pendules |
| \(k\) | Raideur du ressort de couplage |
| \(g\) | Accélération de la pesanteur |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour la force du ressort exercée sur la masse 1, pensez à l'allongement comme "position de l'autre extrémité moins ma position", soit \((x_2 - x_1)\). La force est alors \(k(x_2 - x_1)\). Pour la masse 2, la force est simplement l'opposée, \(-k(x_2 - x_1)\).
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des forces sur la masse 1
Calcul(s) (l'application numérique)
Le processus consiste à appliquer la deuxième loi de Newton \(\sum F_x = m a_x = m\ddot{x}\) à chaque masse, en projetant toutes les forces sur l'axe horizontal.
Pour la masse 1 : La force de rappel due à la pesanteur est \(-mg\sin\theta_1 \approx -(mg/l)x_1\). La force du ressort est \(k(x_2-x_1)\). La somme de ces deux forces donne l'accélération.
Bilan des forces sur la masse 1
Pour la masse 2 : La force de rappel gravitationnelle est \(-mg\sin\theta_2 \approx -(mg/l)x_2\). La force du ressort est l'opposée de celle sur la masse 1, soit \(-k(x_2 - x_1)\).
Bilan des forces sur la masse 2
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des équations du mouvement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On obtient un système de deux équations différentielles. Le terme "couplées" vient du fait que l'équation de \(x_1\) dépend de \(x_2\), et vice-versa (à travers les termes en \(k/m\)). On ne peut donc pas les résoudre séparément. Il faut trouver une méthode pour les démêler.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune concerne le signe de la force du ressort. Rappelez-vous que \(k(x_2 - x_1)\) est la force exercée sur la masse 1. La force sur la masse 2 est l'opposée par la troisième loi de Newton.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La mise en équation d'un système d'oscillateurs couplés se fait en appliquant le PFD à chaque oscillateur et en incluant les forces d'interaction (couplage) entre eux.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Christiaan Huygens, l'inventeur de l'horloge à pendule, a été le premier à observer le phénomène de synchronisation (un cousin des oscillations couplées) en 1665. Il a remarqué que deux de ses horloges accrochées au même mur finissaient toujours par battre en opposition de phase parfaite.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Si la masse du second pendule était \(2m\) au lieu de \(m\), quelle serait la nouvelle équation du mouvement pour \(x_2\) ?
Question 2 : Découplage avec les coordonnées normales
Principe (le concept physique)
L'idée des coordonnées normales est de trouver un nouveau "point de vue" (un nouveau système de coordonnées) à partir duquel le mouvement complexe du système apparaît comme la simple addition de deux oscillations indépendantes. Ces coordonnées décrivent les mouvements collectifs du système.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Mathématiquement, cette procédure est équivalente à la diagonalisation de la matrice du système. Les coordonnées normales sont proportionnelles aux vecteurs propres de cette matrice. Pour des systèmes symétriques simples, on peut souvent deviner ces vecteurs propres en cherchant des combinaisons simples comme la somme et la différence.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Lorsque vous avez un système de deux équations symétriques de la forme :
\(\ddot{x}_1 + A x_1 + B x_2 = 0\)
\(\ddot{x}_2 + B x_1 + A x_2 = 0\)
Pensez toujours à essayer les combinaisons \(X_S=x_1+x_2\) et \(X_A=x_1-x_2\). L'addition et la soustraction des équations initiales mènent presque toujours à la solution !
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable. Il s'agit d'une technique mathématique standard en algèbre linéaire et en physique théorique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Changement de variables
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les équations de départ sont linéaires, ce qui est garanti par l'hypothèse des petites oscillations.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Point de départ | Équations |
|---|---|
| Équations Couplées | \(\begin{cases} \ddot{x}_1 + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})x_1 - \frac{k}{m}x_2 = 0 \\ \ddot{x}_2 - \frac{k}{m}x_1 + (\frac{g}{l} + \frac{k}{m})x_2 = 0 \end{cases}\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Additionnez les deux lignes d'équations pour trouver celle de \(\ddot{X}_S = \ddot{x}_1 + \ddot{x}_2\). Soustrayez la deuxième ligne de la première pour trouver celle de \(\ddot{X}_A = \ddot{x}_1 - \ddot{x}_2\). Cela évite de se perdre dans les substitutions.
Schéma (Avant les calculs)
Concept du changement de coordonnées
Calcul(s) (l'application numérique)
Le processus consiste à combiner algébriquement les deux équations initiales pour obtenir deux nouvelles équations, l'une ne contenant que la variable \(X_S\) et l'autre que la variable \(X_A\).
Équation pour \(X_S\) (Addition)
On additionne terme à terme les deux équations du système de départ.
Les termes en \(k/m\) s'annulent. En remplaçant \(x_1+x_2\) par \(X_S\), on obtient :
Équation pour \(X_A\) (Soustraction)
On soustrait la deuxième équation à la première.
Schéma (Après les calculs)
Système découplé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La magie a opéré : nous avons transformé un problème complexe de deux équations interdépendantes en deux problèmes simples que nous savons résoudre depuis longtemps, celui de l'oscillateur harmonique. Chaque coordonnée normale (\(X_S\) et \(X_A\)) se comporte comme un oscillateur simple, avec sa propre pulsation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Une erreur fréquente est de mal gérer les signes lors de la soustraction des équations. N'oubliez pas que soustraire \(-k(x_2-x_1)\) revient à ajouter \(+k(x_2-x_1) = -k(x_1-x_2)\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Les coordonnées normales sont des combinaisons linéaires des coordonnées originales qui transforment un système d'équations couplées en un système d'équations indépendantes (découplées).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette technique de découplage est cruciale en ingénierie des structures. Pour analyser la réponse d'un bâtiment à un séisme, on le modélise comme un système de masses (les étages) et de ressorts (les murs). On calcule ensuite ses modes normaux de vibration pour s'assurer que leurs fréquences ne correspondent pas à celles d'un tremblement de terre, pour éviter la résonance.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Exprimez \(\ddot{x}_1\) uniquement en fonction de \(\ddot{X}_S\) et \(\ddot{X}_A\).
(Indice: \(x_1 = (X_S+X_A)/2\))
Question 3 : Pulsations propres des modes normaux
Principe (le concept physique)
Chaque mode normal, étant un oscillateur harmonique simple, possède une "vitesse" d'oscillation qui lui est propre. Cette vitesse est caractérisée par sa pulsation propre (ou fréquence angulaire). On l'extrait de l'équation du mouvement du mode.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'équation canonique (la forme standard) d'un oscillateur harmonique non amorti est \(\ddot{X} + \omega^2 X = 0\). Le terme constant qui multiplie la variable de position \(X\) est toujours le carré de la pulsation, \(\omega^2\). La solution de cette équation est une sinusoïde de pulsation \(\omega\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Il est crucial de bien faire la distinction entre la pulsation \(\omega\) (en \(\text{rad/s}\)), la fréquence \(f\) (en \(\text{Hz}\)), et la période \(T\) (en \(\text{s}\)). Elles sont liées par les relations : \(\omega = 2\pi f\) et \(T = 1/f = 2\pi/\omega\). La pulsation est souvent plus pratique dans les calculs théoriques.
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
Aucune nouvelle hypothèse. On se base sur les résultats de la question 2.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Coordonnée Normale | Équation du Mouvement |
|---|---|
| Symétrique (\(X_S\)) | \(\ddot{X}_S + (g/l) X_S = 0\) |
| Antisymétrique (\(X_A\)) | \(\ddot{X}_A + (g/l + 2k/m) X_A = 0\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
L'identification est immédiate. Une fois qu'une équation est sous la forme \(\ddot{X} + \text{constante} \cdot X = 0\), la pulsation est simplement la racine carrée de la constante.
Schéma (Avant les calculs)
Identification de \(\omega^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Le processus consiste à identifier le coefficient \(C\) dans chaque équation découplée et à en prendre la racine carrée.
Pulsation du mode symétrique (\(X_S\))
Ici, le coefficient de \(X_S\) est \(C = g/l\).
Pulsation du mode antisymétrique (\(X_A\))
Ici, le coefficient de \(X_A\) est \(C = g/l + 2k/m\).
Schéma (Après les calculs)
Évolution des pulsations avec le couplage \(k\)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On confirme que \(\omega_S = \omega_0\) (la pulsation d'un pendule seul) et que \(\omega_A > \omega_S\). L'écart entre les deux pulsations, \(\omega_A - \omega_S\), augmente avec la force du couplage \(k\). Si le couplage est nul (\(k=0\)), les deux pulsations deviennent égales, ce qui est logique car on a alors deux pendules indépendants.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas la racine carrée ! Une erreur très fréquente est de donner \(\omega^2\) comme réponse au lieu de \(\omega\). Vérifiez aussi que les unités sous la racine sont cohérentes (en \(s^{-2}\)).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La pulsation du mode symétrique ne dépend pas du couplage.
- La pulsation du mode antisymétrique augmente avec la raideur du couplage \(k\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En chimie, la spectroscopie infrarouge permet d'identifier les molécules en mesurant leurs fréquences de vibration. Par exemple, la molécule de CO₂, qui peut être modélisée comme O-C-O, possède un mode de vibration symétrique (les deux O s'éloignent en même temps du C) et un mode antisymétrique (un O se rapproche pendant que l'autre s'éloigne), chacun avec sa propre fréquence.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Si \(l=1 \text{ m}\), \(m=1 \text{ kg}\) et \(g \approx 10 \text{ m/s²}\), quelle doit être la valeur de \(k\) pour que \(\omega_A\) soit le double de \(\omega_S\) ?
Question 4 : Description physique des modes normaux
Principe (le concept physique)
Un mode normal est un mouvement collectif et synchronisé. Pour comprendre sa nature physique, il faut traduire les conditions mathématiques (\(X_S=0\) ou \(X_A=0\)) en un mouvement concret des pendules dans l'espace.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Phase et Opposition de Phase : Deux signaux sinusoïdaux sont "en phase" s'ils atteignent leurs maxima et minima en même temps. Ils sont en "opposition de phase" si l'un atteint son maximum quand l'autre atteint son minimum. Mathématiquement, \(x_1(t)=x_2(t)\) correspond à une phase relative de 0, tandis que \(x_1(t)=-x_2(t)\) correspond à une phase relative de \(\pi\) radians (180°).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour visualiser un mode, imaginez que vous "lancez" le système précisément de la bonne manière. Pour le mode symétrique, écartez les deux pendules de la même distance et dans la même direction, puis lâchez-les. Pour le mode antisymétrique, écartez-les de la même distance mais dans des directions opposées, puis lâchez-les. Le système continuera d'osciller dans ce mode pur.
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Condition du Mode Symétrique
Condition du Mode Antisymétrique
Hypothèses (le cadre du calcul)
Non applicable.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Coordonnée | Définition |
|---|---|
| \(X_S\) | \(x_1 + x_2\) |
| \(X_A\) | \(x_1 - x_2\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pensez au ressort : est-il étiré/comprimé ? Si sa longueur ne change pas, il ne joue aucun rôle. S'il est déformé, il ajoute de la "rigidité" au système et augmente la fréquence de l'oscillation.
Schéma (Avant les calculs)
État d'équilibre du système
Raisonnement (l'application logique)
Cette question ne requiert pas de calcul numérique mais une interprétation physique des conditions mathématiques. Le raisonnement est le suivant :
1. Pour le mode symétrique : La condition est \(x_1(t) = x_2(t)\). Cela signifie que les deux pendules ont exactement la même position à tout instant. L'allongement du ressort, qui est donné par \((x_2 - x_1)\), est donc toujours nul. Si l'allongement est nul, la force exercée par le ressort (\(F = k(x_2-x_1)\)) est également nulle. Le système se comporte donc comme si le ressort n'existait pas. Les deux pendules oscillent en parallèle, chacun à sa pulsation naturelle \(\omega_0 = \sqrt{g/l}\).
2. Pour le mode antisymétrique : La condition est \(x_1(t) = -x_2(t)\). Les pendules se déplacent de manière opposée. L'allongement du ressort est \((x_2 - x_1) = (-x_1) - x_1 = -2x_1\). Il n'est pas nul et est même maximal pour un déplacement donné. Le ressort exerce donc une force de rappel supplémentaire sur chaque masse, qui s'ajoute à celle de la gravité. Cette force de rappel accrue rend le système plus "rigide", ce qui a pour effet d'augmenter la fréquence d'oscillation, d'où \(\omega_A > \omega_S\).
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Modes Normaux
Mode Symétrique (en phase)
Mode Antisymétrique (opposition)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Mode Symétrique : \(x_1(t) = x_2(t)\). Les deux pendules oscillent parfaitement en phase. La distance entre les masses reste constante, donc le ressort n'est jamais ni étiré ni comprimé. Il n'a aucun effet sur le mouvement. La pulsation est celle d'un pendule simple, \(\omega_S = \sqrt{g/l}\).
Mode Antisymétrique : \(x_1(t) = -x_2(t)\). Les deux pendules oscillent en opposition de phase parfaite, comme une image miroir. Le ressort est étiré et comprimé au maximum, ajoutant sa force de rappel à celle de la gravité. Cela rend le système plus "rigide", ce qui explique que la pulsation \(\omega_A\) soit plus élevée.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre "symétrique" avec la symétrie géométrique. Le mode antisymétrique (\(x_1=-x_2\)) est géométriquement très symétrique par rapport au centre du système. Le nom se réfère à la nature mathématique de la coordonnée normale.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Mode symétrique = en phase, pas d'effet du ressort, basse fréquence.
Mode antisymétrique = en opposition de phase, effet maximal du ressort, haute fréquence.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les ingénieurs automobiles utilisent l'analyse modale pour concevoir des voitures plus confortables. Ils étudient les modes de vibration de la carrosserie, du châssis et de la suspension pour s'assurer que les vibrations du moteur ou de la route ne sont pas amplifiées par résonance, ce qui créerait des bruits et des secousses désagréables.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les deux modes normaux correspondent à des oscillations en phase (pulsation \(\omega_S\)) et en opposition de phase (pulsation \(\omega_A\)).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Dans le mode antisymétrique, quelle est la vitesse du centre du ressort ?
Question 5 : Étude du phénomène de battement
Principe (le concept physique)
Un mouvement qui n'est pas un mode normal pur est une superposition de modes. Lorsque les fréquences des modes superposés sont proches, l'énergie semble passer d'un oscillateur à l'autre. C'est le phénomène de battement, une conséquence directe du principe de superposition.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Formules de Simpson : Ces identités trigonométriques permettent de transformer une somme de cosinus en un produit.
\(\cos(p) + \cos(q) = 2 \cos\left(\frac{p-q}{2}\right) \cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\)
\(\cos(p) - \cos(q) = -2 \sin\left(\frac{p-q}{2}\right) \sin\left(\frac{p+q}{2}\right)\)
Elles sont l'outil mathématique clé pour révéler la structure "rapide" et "lente" du mouvement de battement.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le battement est plus facile à comprendre comme le produit de deux oscillations : une oscillation rapide (à la fréquence moyenne) dont l'amplitude est elle-même une oscillation lente (à la demi-différence des fréquences). Cette "amplitude qui oscille" est appelée l'enveloppe.
Normes (la référence réglementaire)
Non applicable.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Inversion des coordonnées normales
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise les solutions sinusoïdales pour les modes normaux, avec des phases et amplitudes déterminées par les conditions initiales.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Condition | Valeur |
|---|---|
| Position initiale \(x_1(0)\) | \(A\) |
| Position initiale \(x_2(0)\) | \(0\) |
| Vitesse initiale \(\dot{x}_1(0)\) | \(0\) |
| Vitesse initiale \(\dot{x}_2(0)\) | \(0\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Convertissez d'abord les C.I. de \((x_1, x_2)\) vers \((X_S, X_A)\). C'est beaucoup plus simple de résoudre pour les modes normaux indépendamment, puis de revenir à \(x_1\) et \(x_2\) à la toute fin.
Schéma (Avant les calculs)
État Initial du Système
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul des C.I. pour les modes
On transforme les conditions initiales des coordonnées physiques \(x_1, x_2\) en conditions initiales pour les coordonnées normales \(X_S, X_A\).
Les vitesses initiales étant nulles, les phases initiales des modes sont également nulles.
2. Solutions des modes
La solution générale d'un oscillateur \(\ddot{X} + \omega^2 X = 0\) avec vitesse initiale nulle est \(X(t) = X(0)\cos(\omega t)\). On applique cela à nos deux modes.
3. Retour à \(x_1\) et \(x_2\)
On utilise les formules d'inversion pour retrouver les mouvements des pendules physiques en combinant les solutions des modes.
4. Application des formules de Simpson
On transforme les sommes de cosinus en produits pour révéler l'enveloppe de battement.
Schéma (Après les calculs)
Phénomène de Battement
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les expressions finales montrent que chaque pendule a un mouvement complexe. C'est le produit d'une oscillation rapide (le terme \(\cos\) ou \(\sin\) avec la fréquence moyenne) et d'une oscillation lente qui module l'amplitude (le terme \(\cos\) ou \(\sin\) avec la demi-différence des fréquences). Au début (\(t=0\)), \(x_1\) a une amplitude maximale et \(x_2\) est immobile. Lentement, l'amplitude de \(x_1\) diminue jusqu'à s'annuler, tandis que celle de \(x_2\) augmente. L'énergie est entièrement passée au deuxième pendule. Le processus s'inverse ensuite.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Faites attention à la différence entre les deux dernières formules : \(x_1\) a un produit de deux cosinus, tandis que \(x_2\) a un produit de deux sinus (à un signe près selon la formule de Simpson utilisée). Cette différence est cruciale, elle explique le déphasage de \(\pi/2\) entre les deux enveloppes.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Le battement est la signature d'un système lancé avec une combinaison de modes normaux. Il matérialise le transfert d'énergie entre les oscillateurs. La vitesse de ce transfert dépend de l'écart entre les fréquences propres.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de battement est utilisé dans les récepteurs radio superhétérodynes. Pour isoler une fréquence radio, on la "mélange" avec un signal généré localement. Le "battement" résultant est un signal à une fréquence plus basse, fixe et plus facile à amplifier et à traiter, quelle que soit la fréquence d'origine.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
\(x_2(t) = A_{\text{env},2}(t) \sin(\omega_{\text{moy}}t)\)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)
Si le couplage est très faible (\(k \to 0\)), que devient le temps de battement \(T_{\text{battement}}\) ?
Outil Interactif : Simulateur des Pulsations Propres
Utilisez cet outil pour observer comment les pulsations des deux modes normaux (\(\omega_S\) et \(\omega_A\)) varient en fonction de la raideur du ressort de couplage \(k\). Notez que \(\omega_S\) reste constant, tandis que \(\omega_A\) augmente avec le couplage.
Paramètres d'Entrée
Pulsations calculées pour k=10 N/m
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans le mode normal symétrique, que peut-on dire du ressort de couplage ?
2. Comment la pulsation du mode antisymétrique (\(\omega_A\)) évolue-t-elle si on augmente la raideur \(k\) du ressort ?
3. Le phénomène de battement est plus prononcé lorsque :
4. Si on supprime le ressort (\(k=0\)), que deviennent les pulsations propres ?
5. Pour observer le phénomène de battement, quelles conditions initiales sont idéales ?
- Mode Normal
- Un mode de vibration d'un système couplé où toutes les composantes oscillent à la même fréquence et avec des phases relatives fixes. Tout mouvement complexe peut être décomposé en une somme de ces modes simples.
- Pulsation Propre
- La fréquence angulaire (en radians par seconde) d'un mode normal. Elle est notée \(\omega\) et est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).
- Couplage
- Interaction physique (ici, le ressort) entre plusieurs oscillateurs qui leur permet d'échanger de l'énergie et qui modifie leurs fréquences propres.
- Phénomène de Battement
- Lorsque deux oscillations de fréquences très proches sont superposées, l'amplitude de l'oscillation résultante varie lentement dans le temps, créant des "battements". Dans notre cas, c'est ce qui matérialise le transfert d'énergie entre les pendules.
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