ÉTUDE DE PHYSIQUE

Oscillations d’un Pendule Double

Oscillations d'un Pendule Double en Mécanique Classique

Oscillations d'un Pendule Double en Mécanique Classique

Comprendre les Oscillations d'un Pendule Double

Le pendule double est un système mécanique classique composé de deux pendules simples, où le second pendule est attaché à l'extrémité du premier. Ce système, bien que simple en apparence, exhibe un comportement dynamique complexe et peut présenter un mouvement chaotique pour des amplitudes d'oscillation suffisamment grandes. L'étude du pendule double est un excellent exemple d'application des formalismes de la mécanique classique, notamment la mécanique Lagrangienne, qui permet de dériver les équations du mouvement pour des systèmes à plusieurs degrés de liberté. Pour de petites oscillations, le système peut être linéarisé et se comporte comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques couplés.

Données de l'étude

On considère un pendule double plan, constitué de deux tiges de longueurs \(l_1\) et \(l_2\), et de deux masses ponctuelles \(m_1\) et \(m_2\). La première tige est fixée à un point O, et la seconde tige est fixée à la masse \(m_1\). Les angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) repèrent les positions des tiges par rapport à la verticale descendante.

Paramètres du système :

  • Masses : \(m_1\), \(m_2\)
  • Longueurs des tiges : \(l_1\), \(l_2\) (tiges de masse négligeable)
  • Accélération due à la gravité : \(g\)
  • Coordonnées généralisées : \(\theta_1\), \(\theta_2\)

Objectif : Établir le Lagrangien du système.

Schéma : Pendule Double
{/* */} O {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} m₁ {/* */} {/* */} {/* */} θ₁ {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} m₂ {/* */} {/* */} {/* */} θ₂ {/* */} l₁ l₂ Pendule Double Plan

Schéma d'un pendule double avec les masses \(m_1, m_2\), les longueurs \(l_1, l_2\) et les angles \(\theta_1, \theta_2\).

Questions à traiter

  1. Exprimer les coordonnées cartésiennes (\(x_1, y_1\)) de la masse \(m_1\) en fonction de \(l_1\) et \(\theta_1\). (Origine O, axe y vers le bas).
  2. Exprimer les coordonnées cartésiennes (\(x_2, y_2\)) de la masse \(m_2\) en fonction de \(l_1, l_2, \theta_1, \theta_2\).
  3. Calculer l'énergie cinétique \(T_1\) de la masse \(m_1\).
  4. Calculer l'énergie cinétique \(T_2\) de la masse \(m_2\). L'énergie cinétique totale est \(T = T_1 + T_2\).
  5. Calculer l'énergie potentielle de pesanteur \(V_1\) de la masse \(m_1\) et \(V_2\) de la masse \(m_2\) (en prenant le point de suspension O comme référence, \(Z=0\)). L'énergie potentielle totale est \(V = V_1 + V_2\).
  6. Écrire le Lagrangien \(L = T - V\) du système.

Correction : Oscillations d'un Pendule Double

Question 1 : Coordonnées Cartésiennes de \(m_1\)

Principe :

Les coordonnées sont obtenues par projection. Avec l'origine en O, l'axe x horizontal vers la droite et l'axe y vertical vers le bas.

Formule(s) utilisée(s) :
\[x_1 = l_1 \sin(\theta_1)\]
\[y_1 = l_1 \cos(\theta_1)\]
Résultat Question 1 : Les coordonnées de \(m_1\) sont :
  • \(x_1 = l_1 \sin(\theta_1)\)
  • \(y_1 = l_1 \cos(\theta_1)\)

Question 2 : Coordonnées Cartésiennes de \(m_2\)

Principe :

Les coordonnées de \(m_2\) sont celles de \(m_1\) auxquelles on ajoute les projections de la deuxième tige.

Formule(s) utilisée(s) :
\[x_2 = x_1 + l_2 \sin(\theta_2) = l_1 \sin(\theta_1) + l_2 \sin(\theta_2)\]
\[y_2 = y_1 + l_2 \cos(\theta_2) = l_1 \cos(\theta_1) + l_2 \cos(\theta_2)\]
Résultat Question 2 : Les coordonnées de \(m_2\) sont :
  • \(x_2 = l_1 \sin(\theta_1) + l_2 \sin(\theta_2)\)
  • \(y_2 = l_1 \cos(\theta_1) + l_2 \cos(\theta_2)\)

Question 3 : Énergie Cinétique \(T_1\) de la Masse \(m_1\)

Principe :

L'énergie cinétique est \(T_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m_1 (\dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2)\). Il faut dériver \(x_1\) et \(y_1\) par rapport au temps.

Calcul des vitesses :
\[ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= \frac{d}{dt}(l_1 \sin(\theta_1)) = l_1 \cos(\theta_1) \dot{\theta}_1 \\ \dot{y}_1 &= \frac{d}{dt}(l_1 \cos(\theta_1)) = -l_1 \sin(\theta_1) \dot{\theta}_1 \end{aligned} \]
Calcul de \(T_1\) :
\[ \begin{aligned} T_1 &= \frac{1}{2} m_1 [ (l_1 \cos(\theta_1) \dot{\theta}_1)^2 + (-l_1 \sin(\theta_1) \dot{\theta}_1)^2 ] \\ &= \frac{1}{2} m_1 [ l_1^2 \cos^2(\theta_1) \dot{\theta}_1^2 + l_1^2 \sin^2(\theta_1) \dot{\theta}_1^2 ] \\ &= \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2 (\cos^2(\theta_1) + \sin^2(\theta_1)) \\ &= \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'énergie cinétique de \(m_1\) est \(T_1 = \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2\).

Question 4 : Énergie Cinétique \(T_2\) de la Masse \(m_2\) et \(T_{\text{totale}}\)

Principe :

L'énergie cinétique est \(T_2 = \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_2 (\dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2)\). Il faut dériver \(x_2\) et \(y_2\) par rapport au temps.

Calcul des vitesses \(\dot{x}_2, \dot{y}_2\) :
\[ \begin{aligned} \dot{x}_2 &= \frac{d}{dt}(l_1 \sin(\theta_1) + l_2 \sin(\theta_2)) \\ &= l_1 \cos(\theta_1) \dot{\theta}_1 + l_2 \cos(\theta_2) \dot{\theta}_2 \\ \dot{y}_2 &= \frac{d}{dt}(l_1 \cos(\theta_1) + l_2 \cos(\theta_2)) \\ &= -l_1 \sin(\theta_1) \dot{\theta}_1 - l_2 \sin(\theta_2) \dot{\theta}_2 \end{aligned} \]
Calcul de \(T_2\) :
\[ \begin{aligned} \dot{x}_2^2 &= (l_1 \cos\theta_1 \dot{\theta}_1 + l_2 \cos\theta_2 \dot{\theta}_2)^2 \\ &= l_1^2 \cos^2\theta_1 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \cos^2\theta_2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \cos\theta_1 \cos\theta_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \\ \dot{y}_2^2 &= (-l_1 \sin\theta_1 \dot{\theta}_1 - l_2 \sin\theta_2 \dot{\theta}_2)^2 \\ &= l_1^2 \sin^2\theta_1 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \sin^2\theta_2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \sin\theta_1 \sin\theta_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \\ \dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2 &= l_1^2 \dot{\theta}_1^2(\cos^2\theta_1 + \sin^2\theta_1) + l_2^2 \dot{\theta}_2^2(\cos^2\theta_2 + \sin^2\theta_2) \\ & \quad + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 (\cos\theta_1 \cos\theta_2 + \sin\theta_1 \sin\theta_2) \\ &= l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) \end{aligned} \]
\[T_2 = \frac{1}{2} m_2 [l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)]\]
Énergie cinétique totale \(T = T_1 + T_2\) :
\[T = \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 [l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)]\]
\[T = \frac{1}{2} (m_1+m_2) l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)\]
Résultat Question 4 : L'énergie cinétique totale est : \[T = \frac{1}{2} (m_1+m_2) l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)\]

Question 5 : Énergie Potentielle \(V\)

Principe :

L'énergie potentielle de pesanteur est \(V = -mgy\), car l'axe y est orienté vers le bas et le niveau de référence \(y=0\) est au point de suspension O.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = -m_1 g y_1 = -m_1 g l_1 \cos(\theta_1)\]
\[V_2 = -m_2 g y_2 = -m_2 g (l_1 \cos(\theta_1) + l_2 \cos(\theta_2))\]
\[V = V_1 + V_2\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= -m_1 g l_1 \cos(\theta_1) - m_2 g (l_1 \cos(\theta_1) + l_2 \cos(\theta_2)) \\ &= -(m_1+m_2) g l_1 \cos(\theta_1) - m_2 g l_2 \cos(\theta_2) \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie potentielle totale est \(V = -(m_1+m_2) g l_1 \cos(\theta_1) - m_2 g l_2 \cos(\theta_2)\).

Question 6 : Lagrangien \(L = T - V\)

Principe :

Le Lagrangien est la différence entre l'énergie cinétique totale et l'énergie potentielle totale.

Calcul :
\[ \begin{aligned} L = & \frac{1}{2} (m_1+m_2) l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) \\ & - [-(m_1+m_2) g l_1 \cos(\theta_1) - m_2 g l_2 \cos(\theta_2)] \\ L = & \frac{1}{2} (m_1+m_2) l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) \\ & + (m_1+m_2) g l_1 \cos(\theta_1) + m_2 g l_2 \cos(\theta_2) \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le Lagrangien du système est : \[L = \frac{1}{2} (m_1+m_2) l_1^2 \dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\theta}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\theta}_1 \dot{\theta}_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) + (m_1+m_2) g l_1 \cos(\theta_1) + m_2 g l_2 \cos(\theta_2)\]

Quiz Intermédiaire 1 : Le Lagrangien est défini comme :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Les coordonnées généralisées pour le pendule double plan sont typiquement :

2. L'énergie cinétique d'une masse ponctuelle \(m\) avec une vitesse \(v\) est :

3. L'énergie potentielle de pesanteur d'une masse \(m\) à une hauteur \(h\) par rapport à une référence \(h=0\) est (avec g positif) :

Glossaire

Pendule Double
Système mécanique composé d'un pendule simple attaché à l'extrémité d'un autre pendule simple. Il possède deux degrés de liberté et peut exhiber un comportement chaotique.
Mécanique Lagrangienne
Formalisme de la mécanique classique basé sur le principe de moindre action, utilisant le Lagrangien (L = T - V) pour dériver les équations du mouvement (équations de Lagrange).
Coordonnées Généralisées (\(q_i\))
Ensemble minimal de variables indépendantes qui décrivent complètement la configuration d'un système mécanique.
Énergie Cinétique (T)
Énergie associée au mouvement d'un corps. Pour une masse ponctuelle, \(T = \frac{1}{2}mv^2\).
Énergie Potentielle (V)
Énergie stockée dans un système en raison de sa position ou de sa configuration. Pour la pesanteur, \(V = mgh\) (avec une convention de signe appropriée).
Lagrangien (L)
Fonction scalaire définie comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle du système : \(L = T - V\).
Équations de Lagrange
Équations du mouvement dérivées du Lagrangien : \(\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\), où \(q_i\) sont les coordonnées généralisées.
Oscillations d'un Pendule Double - Exercice d'Application

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