ÉTUDE DE PHYSIQUE

Problème à Deux Corps et Orbites Planétaires

Problème à Deux Corps et Orbites Planétaires en Mécanique Classique

Problème à Deux Corps et Orbites Planétaires

Comprendre le Problème à Deux Corps et les Orbites Planétaires

Le problème à deux corps en mécanique classique décrit le mouvement de deux masses ponctuelles qui interagissent uniquement entre elles, par exemple via la force gravitationnelle. Ce modèle est fondamental pour comprendre les orbites des planètes autour d'une étoile, ou des satellites autour d'une planète. Lorsque la masse de l'un des corps (l'étoile, \(M\)) est significativement plus grande que celle de l'autre (la planète, \(m\)), on peut souvent considérer que le corps le plus massif est fixe au centre du système de référence. Les lois de Kepler, dérivées des lois de Newton de la gravitation et du mouvement, décrivent les caractéristiques de ces orbites elliptiques (ou circulaires comme cas particulier).

Données de l'étude

On étudie l'orbite de la Terre autour du Soleil, en la considérant comme circulaire pour simplifier certains calculs. On s'intéressera également à un satellite artificiel en orbite autour de la Terre.

Constantes et Données :

  • Masse du Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) : \(1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • Masse de la Terre (\(M_{\text{Terre}}\)) : \(5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • Constante gravitationnelle universelle (\(G\)) : \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • Rayon moyen de l'orbite terrestre (demi-grand axe, \(a_{\text{Terre}}\)) : \(1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\) (1 Unité Astronomique, UA)
  • Rayon équatorial de la Terre (\(R_{\text{Terre}}\)) : \(6378 \times 10^3 \, \text{m}\)
Schéma : Orbite Planétaire (Simplifiée)
M (Étoile) m (Planète) r (ou a) v Orbite Circulaire Simplifiée

Schéma simplifié d'une planète de masse \(m\) orbitant une étoile de masse \(M\) sur une orbite circulaire de rayon \(r\).

Questions à traiter

  1. Énoncer la loi de la gravitation universelle de Newton. Quelle est la force exercée par le Soleil sur la Terre ?
  2. En considérant l'orbite de la Terre comme circulaire, quelle est la nature de la force qui maintient la Terre sur son orbite (force centripète) ? Écrire l'équation dynamique pour la Terre.
  3. Dériver l'expression de la vitesse orbitale (\(v_{\text{orb}}\)) de la Terre autour du Soleil en fonction de \(G\), \(M_{\text{Soleil}}\), et \(a_{\text{Terre}}\). Calculer sa valeur numérique.
  4. Dériver l'expression de la période orbitale (\(T_{\text{Terre}}\)) de la Terre autour du Soleil. Calculer sa valeur en secondes, puis en jours.
  5. Calculer l'énergie mécanique totale (\(E_{\text{méc}}\)) du système Terre-Soleil, en supposant une orbite circulaire. (Rappel : \(E_{\text{méc}} = E_c + E_p\), avec \(E_p = -G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}}\)).
  6. Un satellite de communication géostationnaire orbite la Terre. Quelle doit être son altitude \(h\) par rapport à la surface de la Terre pour qu'il soit géostationnaire ? (Un satellite géostationnaire a une période orbitale égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même, soit \(T_{\text{sat}} \approx 23\text{h}56\text{min}4\text{s}\)).

Correction : Problème à Deux Corps et Orbites Planétaires

Question 1 : Loi de la gravitation universelle

Principe :

La loi de la gravitation universelle de Newton stipule que deux corps ponctuels de masses \(M\) et \(m\), séparés par une distance \(r\), s'attirent mutuellement avec une force dont l'intensité est proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_g = G \frac{M m}{r^2} \]

Où \(G\) est la constante gravitationnelle universelle.

La force exercée par le Soleil (\(M_{\text{Soleil}}\)) sur la Terre (\(m_{\text{Terre}}\)) à une distance \(a_{\text{Terre}}\) est donc :

\[ F_{\text{Soleil/Terre}} = G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}^2} \]
Résultat Question 1 : Deux corps s'attirent avec une force \(F_g = G \frac{Mm}{r^2}\). La force du Soleil sur la Terre est \(F_{\text{Soleil/Terre}} = G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}^2}\).

Question 2 : Force centripète et équation dynamique

Principe :

Pour que la Terre décrive une orbite circulaire autour du Soleil, elle doit être soumise à une force centripète dirigée vers le centre de l'orbite (le Soleil). Cette force centripète est fournie par la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Terre.

L'équation dynamique (deuxième loi de Newton) pour un mouvement circulaire uniforme est \(F_{\text{centripète}} = m a_{\text{centripète}}\), où \(a_{\text{centripète}} = \frac{v^2}{r}\).

Équation dynamique :
\[ G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}^2} = m_{\text{Terre}} \frac{v_{\text{orb}}^2}{a_{\text{Terre}}} \]

Où \(v_{\text{orb}}\) est la vitesse orbitale de la Terre.

Résultat Question 2 : La force centripète est la force gravitationnelle. L'équation dynamique est \(G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}^2} = m_{\text{Terre}} \frac{v_{\text{orb}}^2}{a_{\text{Terre}}}\).

Question 3 : Vitesse orbitale (\(v_{\text{orb}}\)) de la Terre

Principe :

On dérive \(v_{\text{orb}}\) à partir de l'équation dynamique établie à la question 2.

Dérivation :
\[ \begin{aligned} G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}^2} &= m_{\text{Terre}} \frac{v_{\text{orb}}^2}{a_{\text{Terre}}} \\ G \frac{M_{\text{Soleil}}}{a_{\text{Terre}}} &= v_{\text{orb}}^2 \quad (\text{en simplifiant par } m_{\text{Terre}} \text{ et } a_{\text{Terre}}) \\ v_{\text{orb}} &= \sqrt{\frac{G M_{\text{Soleil}}}{a_{\text{Terre}}}} \end{aligned} \]
Données spécifiques :
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_{\text{Soleil}} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • \(a_{\text{Terre}} = 1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
Calcul numérique :
\[ \begin{aligned} v_{\text{orb}} &= \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (1.989 \times 10^{30})}{1.496 \times 10^{11}}} \\ &= \sqrt{\frac{1.3271246 \times 10^{20}}{1.496 \times 10^{11}}} \\ &= \sqrt{0.88711537 \times 10^9} \\ &= \sqrt{887.11537 \times 10^6} \\ &\approx 29784.6 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

Soit environ \(29.78 \, \text{km/s}\).

Résultat Question 3 : L'expression de la vitesse orbitale est \(v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{G M_{\text{Soleil}}}{a_{\text{Terre}}}}\). Sa valeur numérique est \(v_{\text{orb}} \approx 29785 \, \text{m/s}\) (ou \(29.785 \, \text{km/s}\)).

Question 4 : Période orbitale (\(T_{\text{Terre}}\)) de la Terre

Principe :

La période orbitale \(T\) est le temps nécessaire pour effectuer une orbite complète. Pour une orbite circulaire, la distance parcourue est la circonférence \(2\pi r\) (ici \(2\pi a_{\text{Terre}}\)), et elle est parcourue à la vitesse \(v_{\text{orb}}\). Donc \(T = \frac{2\pi a_{\text{Terre}}}{v_{\text{orb}}}\). On peut aussi utiliser la troisième loi de Kepler.

Troisième loi de Kepler (pour orbites circulaires ou elliptiques) : Le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite. Pour un corps de masse \(m\) orbitant un corps central de masse \(M \gg m\), la loi s'écrit :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_{\text{Soleil}}} a_{\text{Terre}}^3 \Rightarrow T = \sqrt{\frac{4\pi^2 a_{\text{Terre}}^3}{G M_{\text{Soleil}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{a_{\text{Terre}}^3}{G M_{\text{Soleil}}}} \]
Données spécifiques :
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_{\text{Soleil}} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)
  • \(a_{\text{Terre}} = 1.496 \times 10^{11} \, \text{m}\)
Calcul numérique :
\[ \begin{aligned} T_{\text{Terre}} &= 2\pi \sqrt{\frac{(1.496 \times 10^{11})^3}{(6.674 \times 10^{-11}) \times (1.989 \times 10^{30})}} \\ &= 2\pi \sqrt{\frac{3.348071936 \times 10^{33}}{1.3271246 \times 10^{20}}} \\ &= 2\pi \sqrt{2.52276 \times 10^{13}} \\ &\approx 2\pi \times (1.58832 \times 10^6) \\ &\approx 9.9795 \times 10^6 \, \text{s} \end{aligned} \]

Conversion en jours (\(1 \, \text{jour} = 24 \times 3600 = 86400 \, \text{s}\)) :

\[ T_{\text{Terre, jours}} = \frac{9.9795 \times 10^6 \, \text{s}}{86400 \, \text{s/jour}} \approx 115.50 \, \text{jours} \]

Erreur dans le calcul précédent, revoyons :

\[ \begin{aligned} a_{\text{Terre}}^3 &\approx (1.496 \times 10^{11})^3 \approx 3.34807 \times 10^{33} \, \text{m}^3 \\ G M_{\text{Soleil}} &\approx (6.674 \times 10^{-11}) \times (1.989 \times 10^{30}) \approx 1.32712 \times 10^{20} \, \text{m}^3\text{s}^{-2} \\ \frac{a_{\text{Terre}}^3}{G M_{\text{Soleil}}} &\approx \frac{3.34807 \times 10^{33}}{1.32712 \times 10^{20}} \approx 2.52276 \times 10^{13} \, \text{s}^2 \\ \sqrt{\frac{a_{\text{Terre}}^3}{G M_{\text{Soleil}}}} &\approx \sqrt{2.52276 \times 10^{13}} \approx 5.02271 \times 10^6 \, \text{s} \\ T_{\text{Terre}} &= 2\pi \times (5.02271 \times 10^6 \, \text{s}) \\ &\approx 3.1558 \times 10^7 \, \text{s} \end{aligned} \]

Conversion en jours :

\[ T_{\text{Terre, jours}} = \frac{3.1558 \times 10^7 \, \text{s}}{86400 \, \text{s/jour}} \approx 365.25 \, \text{jours} \]
Résultat Question 4 : La période orbitale de la Terre est \(T_{\text{Terre}} \approx 3.156 \times 10^7 \, \text{s}\), soit environ \(365.25 \, \text{jours}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Selon la 3ème loi de Kepler, si le demi-grand axe d'une orbite planétaire double, par quel facteur sa période orbitale est-elle multipliée ?

Question 5 : Énergie mécanique totale (\(E_{\text{méc}}\)) du système Terre-Soleil

Principe :

L'énergie mécanique totale d'un système de deux corps en orbite est la somme de son énergie cinétique (\(E_c\)) et de son énergie potentielle gravitationnelle (\(E_p\)). Pour une orbite circulaire, il existe une relation simple entre \(E_c\) et \(E_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E_c = \frac{1}{2} m_{\text{Terre}} v_{\text{orb}}^2 \]
\[ E_p = -G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}} \]
\[ E_{\text{méc}} = E_c + E_p \]

De l'équation dynamique (Q2), \(m_{\text{Terre}} v_{\text{orb}}^2 = G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}}\). Donc \(E_c = \frac{1}{2} G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}} = -\frac{1}{2} E_p\).

Ainsi, pour une orbite circulaire :

\[ E_{\text{méc}} = -\frac{1}{2} G \frac{M_{\text{Soleil}} m_{\text{Terre}}}{a_{\text{Terre}}} = \frac{1}{2} E_p \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{\text{méc}} &= -\frac{1}{2} \times (6.674 \times 10^{-11}) \frac{(1.989 \times 10^{30}) \times (5.972 \times 10^{24})}{1.496 \times 10^{11}} \\ &= -\frac{1}{2} \times (6.674 \times 10^{-11}) \frac{1.18789 \times 10^{55}}{1.496 \times 10^{11}} \\ &= -\frac{1}{2} \times (6.674 \times 10^{-11}) \times (7.93909 \times 10^{43}) \\ &\approx -\frac{1}{2} \times 5.2985 \times 10^{33} \\ &\approx -2.649 \times 10^{33} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'énergie mécanique totale du système Terre-Soleil (orbite circulaire) est \(E_{\text{méc}} \approx -2.649 \times 10^{33} \, \text{Joules}\). L'énergie est négative, ce qui est caractéristique d'un système lié.

Question 6 : Altitude d'un satellite géostationnaire

Principe :

Un satellite géostationnaire a une période orbitale \(T_{\text{sat}}\) égale à la période de rotation sidérale de la Terre. On utilise la 3ème loi de Kepler pour trouver le rayon de son orbite \(r_{\text{sat}}\) autour de la Terre, puis on en déduit l'altitude \(h = r_{\text{sat}} - R_{\text{Terre}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_{\text{sat}}^2 = \frac{4\pi^2}{G M_{\text{Terre}}} r_{\text{sat}}^3 \Rightarrow r_{\text{sat}} = \sqrt[3]{\frac{G M_{\text{Terre}} T_{\text{sat}}^2}{4\pi^2}} \]
\[ h = r_{\text{sat}} - R_{\text{Terre}} \]
Données spécifiques :
  • \(G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2\)
  • \(M_{\text{Terre}} = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\)
  • \(T_{\text{sat}} \approx 23\text{h}56\text{min}4\text{s} = (23 \times 3600) + (56 \times 60) + 4 = 82800 + 3360 + 4 = 86164 \, \text{s}\)
  • \(R_{\text{Terre}} = 6378 \times 10^3 \, \text{m}\)
Calcul de \(r_{\text{sat}}\) :
\[ \begin{aligned} T_{\text{sat}}^2 &\approx (86164)^2 \approx 7.42423 \times 10^9 \, \text{s}^2 \\ G M_{\text{Terre}} &\approx (6.674 \times 10^{-11}) \times (5.972 \times 10^{24}) \approx 3.9860 \times 10^{14} \, \text{m}^3\text{s}^{-2} \\ r_{\text{sat}}^3 &= \frac{(3.9860 \times 10^{14}) \times (7.42423 \times 10^9)}{4\pi^2} \\ &\approx \frac{2.9595 \times 10^{24}}{4 \times (3.14159)^2} \\ &\approx \frac{2.9595 \times 10^{24}}{39.4784} \\ &\approx 7.4964 \times 10^{22} \, \text{m}^3 \\ r_{\text{sat}} &= \sqrt[3]{7.4964 \times 10^{22}} \, \text{m} \\ &\approx 4.2164 \times 10^7 \, \text{m} = 42164 \, \text{km} \end{aligned} \]
Calcul de l'altitude \(h\) :
\[ \begin{aligned} h &= r_{\text{sat}} - R_{\text{Terre}} \\ &\approx (4.2164 \times 10^7 \, \text{m}) - (6.378 \times 10^6 \, \text{m}) \\ &\approx 42164000 \, \text{m} - 6378000 \, \text{m} \\ &\approx 35786000 \, \text{m} = 35786 \, \text{km} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'altitude d'un satellite géostationnaire est d'environ \(h \approx 35786 \, \text{km}\) au-dessus de la surface de la Terre.

Quiz Intermédiaire 1 : Si la masse de la Terre était plus grande, l'altitude d'un satellite géostationnaire (pour la même période de rotation terrestre) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La première loi de Kepler stipule que les planètes décrivent des orbites :

8. Pour une planète en orbite circulaire autour d'une étoile, si le rayon de l'orbite augmente, sa vitesse orbitale :

9. L'énergie mécanique totale d'une planète sur une orbite elliptique stable autour d'une étoile est :

Glossaire

Problème à Deux Corps
En physique, il s'agit de déterminer le mouvement de deux corps qui interagissent entre eux (par exemple, par la force gravitationnelle), en l'absence de forces extérieures.
Lois de Kepler
Trois lois décrivant le mouvement des planètes autour du Soleil : 1. Les orbites sont des ellipses dont le Soleil occupe un des foyers. 2. Le segment reliant une planète au Soleil balaie des aires égales pendant des durées égales (loi des aires). 3. Le carré de la période orbitale est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'orbite (\(T^2 \propto a^3\)).
Force Gravitationnelle
Force d'attraction mutuelle entre deux corps massifs, décrite par la loi de Newton.
Force Centripète
Force résultante dirigée vers le centre d'un mouvement circulaire, nécessaire pour maintenir l'objet sur sa trajectoire courbe.
Vitesse Orbitale
Vitesse à laquelle un objet orbite autour d'un autre corps.
Période Orbitale (\(T\))
Temps nécessaire à un objet pour accomplir une orbite complète autour d'un autre corps.
Demi-grand Axe (\(a\))
La moitié du plus grand diamètre d'une ellipse. Pour une orbite circulaire, cela correspond au rayon.
Énergie Mécanique Totale (\(E_{\text{méc}}\))
Somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle d'un système. Pour un système orbital lié, elle est négative.
Satellite Géostationnaire
Satellite artificiel qui orbite la Terre au-dessus de l'équateur à une altitude telle que sa période orbitale est égale à la période de rotation sidérale de la Terre. Il apparaît donc fixe depuis un point au sol.
Problème à Deux Corps et Orbites Planétaires - Exercice d'Application

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