Trajectoire dans un Champ de Force Central
Contexte : Le mouvement des corps dans un champ de force centralUn champ de force où le vecteur force est toujours dirigé vers ou à partir d'un point fixe, le centre de force, et dont l'intensité ne dépend que de la distance à ce centre..
L'étude du mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale est un pilier de la mécanique classique. Le cas le plus célèbre est celui de la force gravitationnelle Newtonienne, en 1/r², qui régit le ballet des planètes autour du Soleil, la trajectoire de la Lune autour de la Terre, et le mouvement des satellites artificiels. Cet exercice vous guidera dans la détermination de la trajectoire d'un satellite lancé en orbite terrestre.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser les lois de conservation fondamentales (énergie mécanique et moment cinétique) pour caractériser complètement une orbite képlérienne.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer les lois de conservation de l'énergie mécanique et du moment cinétique.
- Déterminer la nature d'une trajectoire (elliptique, parabolique ou hyperbolique) à partir de ses conditions initiales.
- Calculer les paramètres caractéristiques d'une orbite (excentricité, périastre, apoastre).
- Comprendre et appliquer la formule de Binet pour trouver l'équation de la trajectoire.
Données de l'étude
Constantes Physiques
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Constante gravitationnelle | \(G\) | \(6.674 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}\) |
| Masse de la Terre | \(M_T\) | \(5.972 \times 10^{24} \, \text{kg}\) |
| Produit \(G \cdot M_T\) | \(\mu\) | \(3.986 \times 10^{14} \, \text{m}^3\cdot\text{s}^{-2}\) |
Conditions Initiales du Lancement
| Paramètre Initial | Description | Valeur |
|---|---|---|
| \(r_0\) | Distance initiale au centre de la Terre | \(10000 \, \text{km}\) |
| \(v_0\) | Vitesse initiale du satellite | \(7000 \, \text{m/s}\) |
| \(\alpha_0\) | Angle entre \(\vec{r}_0\) et \(\vec{v}_0\) | \(90^\circ\) (lancement perpendiculaire) |
Questions à traiter
- Calculer la constante des aires \(C\) et l'énergie mécanique par unité de masse \(\mathcal{E}_m\) du satellite.
- À partir du signe de l'énergie mécanique, quelle est la nature de la trajectoire ?
- Déterminer l'équation polaire de la trajectoire \(r(\theta)\).
- Calculer le paramètre \(p\) et l'excentricité \(e\) de l'orbite.
- En déduire les distances au périgée \(r_p\) (périastre) et à l'apogée \(r_a\) (apoastre).
Les bases de la Mécanique Céleste
Le mouvement d'un corps sous l'effet d'une force centrale gravitationnelle est régi par deux lois de conservation fondamentales, qui découlent directement des propriétés de la force.
1. Conservation du Moment Cinétique
La force gravitationnelle \(\vec{F}\) est centrale, donc son moment par rapport au centre de force O est nul (\(\vec{\mathcal{M}}_O(\vec{F}) = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}\)). Le théorème du moment cinétique implique que le moment cinétique \(\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}\) est un vecteur constant.
Cela a deux conséquences majeures :
- La trajectoire est contenue dans un plan fixe (le plan orbital).
- La norme du moment cinétique par unité de masse, \(C = ||\vec{L}_O/m||\), aussi appelée constante des aires, est conservée : \(C = r^2 \dot{\theta} = \text{constante}\)`.
2. Conservation de l'Énergie Mécanique
La force gravitationnelle est conservative, ce qui signifie qu'elle dérive d'une énergie potentielle \(E_p(r) = -GmM/r\). Par conséquent, l'énergie mécanique totale du système, \(E_m = E_c + E_p\), est conservée au cours du temps. L'énergie mécanique par unité de masse est notée \(\mathcal{E}_m = E_m/m\).
\[ \mathcal{E}_m = \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM}{r} = \text{constante} \]
Correction : Trajectoire dans un Champ de Force Central
Question 1 : Calcul de \(C\) et \(\mathcal{E}_m\)
Principe
On utilise les conditions initiales du lancement (au point \(P_0\)) pour calculer les valeurs des deux constantes du mouvement : la constante des aires \(C\) et l'énergie mécanique par unité de masse \(\mathcal{E}_m\) . Ces valeurs resteront les mêmes tout au long de la trajectoire.
Mini-Cours
Les deux quantités \(C\) et \(\mathcal{E}_m\) sont les "invariants" du problème de Kepler. Elles suffisent à elles seules à déterminer entièrement la forme et la taille de la trajectoire. \(C\) est liée à la deuxième loi de Kepler (loi des aires), tandis que \(\mathcal{E}_m\) est le critère qui permet de savoir si le satellite restera en orbite ou s'échappera à l'infini.
Remarque Pédagogique
La première étape dans tout problème de mécanique céleste est presque toujours de calculer les invariants du mouvement à partir des conditions initiales. C'est le réflexe à avoir, car ces constantes simplifieront tous les calculs ultérieurs.
Normes
Le cadre de cet exercice est celui de la mécanique Newtonienne. Les "normes" sont ici les lois fondamentales de la physique, notamment le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) et la loi universelle de la gravitation, qui sont universellement reconnues pour décrire ce type de mouvement.
Formule(s)
Constante des aires :
Énergie mécanique par unité de masse :
Hypothèses
Avant tout calcul, il est essentiel de poser les hypothèses simplificatrices du modèle.
- La Terre est un corps à symétrie sphérique de masse \(M_T\) (pas d'aplatissement aux pôles).
- Le satellite est assimilé à un point matériel de masse \(m\).
- Le référentiel géocentrique est considéré comme galiléen.
- On néglige toute force non gravitationnelle (frottement atmosphérique, pression de radiation solaire...).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité (SI) |
|---|---|---|---|
| Distance initiale | \(r_0\) | \(10000 \, \text{km}\) | \(10^7 \, \text{m}\) |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | \(7000 \, \text{m/s}\) | \(7000 \, \text{m/s}\) |
| Angle de lancement | \(\alpha_0\) | \(90^\circ\) | \(\pi/2 \, \text{rad}\) |
| Constante gravitationnelle terrestre | \(\mu\) | \(3.986 \times 10^{14} \, \text{m}^3\cdot\text{s}^{-2}\) | \(3.986 \times 10^{14} \, \text{m}^3\cdot\text{s}^{-2}\) |
Astuces
Le produit \(\mu = GM_T\) est souvent donné directement car il est connu avec une bien meilleure précision que \(G\) et \(M_T\) pris séparément. L'utiliser évite des erreurs d'arrondi.
Schéma (Avant les calculs)
Conditions Initiales
Calcul(s)
Calcul de la constante des aires C
Calcul de l'énergie cinétique par unité de masse
Calcul de l'énergie potentielle par unité de masse
Calcul de l'énergie mécanique totale par unité de masse \(\mathcal{E}_m\)
Schéma (Après les calculs)
Interprétation du Signe de l'Énergie
Réflexions
La valeur de C est très grande, ce qui est typique des échelles astronomiques. Le signe négatif de l'énergie mécanique est crucial : il signifie que l'énergie potentielle (attractive) l'emporte sur l'énergie cinétique. Le satellite est donc "lié" énergétiquement à la Terre et ne peut s'en échapper.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est la gestion des unités. Il faut impérativement convertir les distances en mètres. Une autre erreur fréquente est de se tromper dans les puissances de 10 lors du calcul de \(v_0^2\) ou de \(\mu/r_0\).
Points à retenir
- Les deux invariants \(C\) et \(\mathcal{E}_m\) sont la clé de la résolution.
- Le calcul se fait à l'instant initial car ces grandeurs sont constantes.
- La cohérence des unités (Système International) est non négociable.
Le saviez-vous ?
La constante des aires \(C\) est directement proportionnelle à la vitesse aréolaire (l'aire balayée par le rayon-vecteur par unité de temps). La deuxième loi de Kepler stipule que cette vitesse est constante, ce qui est une conséquence directe de la conservation du moment cinétique.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Que deviendrait l'énergie mécanique \(\mathcal{E}_m\) si la vitesse de lancement était de \(9000 \, \text{m/s}\) ?
Question 2 : Nature de la trajectoire
Principe
La nature géométrique de la trajectoire (conique) d'un corps dans un champ de force gravitationnel est directement et uniquement déterminée par le signe de son énergie mécanique totale. C'est le critère énergétique, fondamental en mécanique céleste.
Mini-Cours
La classification des orbites selon l'énergie est la suivante :
- Si \(\mathcal{E}_m < 0\) : La vitesse du corps est insuffisante pour échapper à l'attraction. La trajectoire est une ellipse. C'est une orbite fermée et stable (cas des planètes, satellites).
- Si \(\mathcal{E}_m = 0\) : La vitesse du corps est exactement la "vitesse de libération". La trajectoire est une parabole. C'est une orbite ouverte de non-retour.
- Si \(\mathcal{E}_m > 0\) : La vitesse du corps est supérieure à la vitesse de libération. La trajectoire est une hyperbole. Le corps s'échappe définitivement (cas de certaines comètes ou des sondes interplanétaires).
Remarque Pédagogique
Face à un problème d'orbite, après avoir calculé les invariants, le signe de \(\mathcal{E}_m\) vous donne immédiatement la "fin de l'histoire" : le satellite restera-t-il captif ou s'échappera-t-il ? C'est l'information qualitative la plus importante.
Normes
Cette classification (ellipse/parabole/hyperbole) est une conséquence directe des lois de la mécanique Newtonienne et n'est pas une norme arbitraire. Elle est universelle pour tout mouvement régi par une force en \(1/r^2\).
Formule(s)
Il n'y a pas de nouvelle formule de calcul ici, mais un critère de décision basé sur le résultat de la question 1 :
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que pour la question 1. Cette classification n'est valide que dans le cadre du problème à deux corps et en négligeant les perturbations.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Énergie mécanique par unité de masse | \(\mathcal{E}_m\) | \(-15.36 \times 10^6 \, \text{J/kg}\) |
Astuces
Pour savoir si un satellite va s'écraser, il ne suffit pas de connaître la nature de l'orbite. Une orbite elliptique peut très bien intersecter le corps central ! Il faudra pour cela comparer le périgée au rayon de l'astre, ce qui sera fait dans une question ultérieure.
Schéma (Avant les calculs)
Classification des Orbites Képlériennes
Calcul(s)
Comparaison du signe de l'énergie :
Schéma (Après les calculs)
Classification des Orbites Képlériennes
Réflexions
Nous avons calculé à la question précédente que \(\mathcal{E}_m = -15.36 \times 10^6 \, \text{J/kg}\). Comme cette valeur est strictement négative, le satellite n'a pas assez d'énergie pour s'échapper de l'attraction terrestre. Il est donc piégé sur une orbite fermée.
Points de vigilance
Attention à ne pas conclure trop vite. Une énergie négative garantit une trajectoire elliptique, mais ne garantit pas une orbite stable. Si l'ellipse intersecte l'atmosphère ou la surface de la Terre, la mission est un échec. La viabilité de l'orbite dépend du calcul du périgée.
Points à retenir
Le triptyque Énergie-Trajectoire est le concept le plus fondamental à retenir :
Énergie < 0 \(\iff\) Ellipse
Énergie = 0 \(\iff\) Parabole
Énergie > 0 \(\iff\) Hyperbole
Le saviez-vous ?
Les sondes spatiales comme Voyager 1 et 2, lancées pour explorer les planètes lointaines, ont été placées sur des trajectoires hyperboliques par rapport au Soleil après avoir utilisé l'assistance gravitationnelle des planètes géantes. Leur énergie mécanique par rapport au Soleil est devenue positive, leur permettant de quitter définitivement le système solaire.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Si un satellite a une énergie mécanique par unité de masse de \(+5.0 \times 10^6 \, \text{J/kg}\), quelle sera la nature de sa trajectoire ?
Question 3 : Équation de la trajectoire \(r(\theta)\)
Principe
Pour trouver la forme géométrique de la trajectoire, on utilise la formule de Binet. C'est une méthode puissante qui permet de trouver l'équation polaire \(r(\theta)\) d'une trajectoire à partir de l'expression de la force centrale, en résolvant une équation différentielle.
Mini-Cours
La formule de Binet relie la force centrale \(\vec{F} = F(r)\vec{u}_r\) à la variable \(u = 1/r\) et à ses dérivées par rapport à l'angle polaire \(\theta\). L'équation générale est : \(\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = -\frac{F(1/u)}{m C^2 u^2}\). Dans notre cas, avec la force de gravitation \(F(r) = - \mu m / r^2 = -\mu m u^2\), l'équation se simplifie considérablement en \(\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{\mu}{C^2}\), qui est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, dont la solution est bien connue.
Remarque Pédagogique
L'équation de Binet est un passage élégant de la dynamique (les forces, le temps) à la géométrie pure (la forme de la trajectoire). En éliminant la variable temps au profit de l'angle \(\theta\), on se concentre uniquement sur la forme de l'orbite.
Normes
Il ne s'agit pas d'une norme d'ingénierie, mais d'un résultat fondamental de la mécanique rationnelle, démontré par Jacques Binet au 19ème siècle.
Formule(s)
Solution de l'équation de Binet :
Forme canonique de l'équation d'une conique en coordonnées polaires :
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes. L'utilisation de cette formule suppose implicitement que \(C \neq 0\), ce qui est toujours le cas sauf pour une trajectoire purement radiale (chute libre vers l'astre).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Statut |
|---|---|---|
| Constante des aires | \(C\) | Utilisée symboliquement |
| Constante gravitationnelle terrestre | \(\mu\) | Utilisée symboliquement |
Astuces
Retenez que pour une force attractive en \(1/r^2\), la trajectoire est TOUJOURS une conique. Le travail consiste simplement à identifier laquelle et quels sont ses paramètres.
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres d'une Conique
Calcul(s)
La solution générale de l'équation de Binet est \(u(\theta) = \frac{\mu}{C^2} + A \cos(\theta)\). Pour obtenir l'équation de la trajectoire \(r(\theta)\), on prend l'inverse :
Ensuite, on factorise le terme constant au dénominateur pour faire apparaître la forme canonique \(1 + ...\):
On peut maintenant identifier cette expression avec l'équation polaire générale d'une conique, \(r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos(\theta)}\).
Identification du paramètre p :
Identification de l'excentricité e :
Schéma (Après les calculs)
Paramètres d'une Conique
Réflexions
Ce résultat est remarquable : il montre que la loi de Newton en \(1/r^2\) mène naturellement aux trajectoires coniques (ellipses, paraboles, hyperboles) découvertes par les Grecs anciens et dont Kepler avait postulé l'importance pour les orbites planétaires. Le calcul différentiel a permis de lier la cause (force) à l'effet (géométrie).
Points de vigilance
Il ne faut pas oublier la constante d'intégration \(\theta_0\). La fixer à zéro est un choix arbitraire qui simplifie les calculs en alignant l'axe de référence avec l'axe principal de l'orbite. Dans un cas général, il faudrait la déterminer avec une condition initiale supplémentaire.
Points à retenir
L'équation \(r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos(\theta)}\) est l'équation polaire universelle de toute trajectoire képlérienne. C'est le résultat central de cette question.
Le saviez-vous ?
Avant que Newton ne publie ses Principia, la plupart des scientifiques, y compris Galilée, pensaient que les orbites planétaires devaient être des cercles, considérés comme la forme "parfaite". La première loi de Kepler, affirmant que les orbites sont des ellipses, fut une rupture conceptuelle majeure.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Pour une orbite donnée par \(r(\theta) = \frac{10000}{1+0.5\cos(\theta)}\), quelle est la distance \(r\) lorsque \(\theta = 90^\circ\) ?
Question 4 : Calcul de \(p\) et \(e\)
Principe
On utilise les invariants du mouvement C et \(\mathcal{E}_m\) calculés à la première question pour déterminer les valeurs numériques des paramètres géométriques \(p\) (paramètre) et \(e\) (excentricité) de la trajectoire.
Mini-Cours
Le paramètre \(p\) (aussi appelé semi-latus rectum) caractérise la "taille" de l'orbite. Il est directement lié au moment cinétique : une orbite avec un plus grand moment cinétique sera plus "large". L'excentricité \(e\) caractérise la "forme" de l'orbite et est directement liée à l'énergie. Elle mesure l'écart de l'orbite par rapport à un cercle parfait.
Remarque Pédagogique
C'est ici que l'on fait le pont entre la physique du lancement (vitesse, position) et la géométrie de la trajectoire qui en résulte. Comprendre comment C et \(\mathcal{E}_m\) se traduisent en \(p\) et \(e\) est la clé pour prédire une orbite.
Normes
Les définitions de \(p\) et \(e\) sont des standards mathématiques de la géométrie des coniques.
Formule(s)
Formule du paramètre :
Formule de l'excentricité :
Hypothèses
Les hypothèses sont inchangées.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Constante des aires | \(C\) | \(7 \times 10^{10} \, \text{m}^2/\text{s}\) |
| Énergie mécanique par unité de masse | \(\mathcal{E}_m\) | \(-15.36 \times 10^6 \, \text{J/kg}\) |
| Constante gravitationnelle terrestre | \(\mu\) | \(3.986 \times 10^{14} \, \text{m}^3\cdot\text{s}^{-2}\) |
Astuces
Avant le calcul de \(e\), on peut déjà prédire qu'on trouvera \(e < 1\) car on sait que \(\mathcal{E}_m < 0\). Si votre calcul donne \(e > 1\), il y a certainement une erreur de signe ou de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Signification du Paramètre \(p\)
Calcul(s)
Calcul du paramètre de l'orbite p
Calcul du terme \(\frac{2 \mathcal{E}_m C^2}{\mu^2}\)
Calcul de l'excentricité e
Schéma (Après les calculs)
Orbite Elliptique Calculée
Réflexions
On vérifie que l'excentricité \(e \approx 0.229\) est bien comprise entre 0 et 1, ce qui confirme que la trajectoire est une ellipse, comme prédit par le signe de l'énergie. Une excentricité de 0 correspond à un cercle, et une de 1 à une parabole. Notre valeur indique une orbite elliptique claire.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est de mal gérer les ordres de grandeur et les carrés dans la formule de l'excentricité. Il faut être très méthodique avec sa calculatrice pour ne pas se tromper dans les puissances de 10.
Points à retenir
Retenir les deux formules de passage qui lient les constantes du mouvement aux paramètres de la trajectoire :
Moment Cinétique \(C\) \(\rightarrow\) Taille de l'orbite (\(p\))
Énergie \(\mathcal{E}_m\) \(\rightarrow\) Forme de l'orbite (\(e\))
Le saviez-vous ?
L'orbite de la comète de Halley est une ellipse très excentrique, avec \(e \approx 0.967\) ! C'est pour cela qu'elle passe une grande partie de sa période de 76 ans très loin du Soleil, dans les confins du système solaire, avant de revenir nous visiter rapidement près du périhélie.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'énergie était nulle (\(\mathcal{E}_m=0\)), que vaudrait l'excentricité \(e\) ?
Question 5 : Calcul de \(r_p\) et \(r_a\)
Principe
Le périgée (ou périastre) et l'apogée (ou apoastre) sont respectivement les distances minimale et maximale au centre de force. Pour une conique définie par \(r(\theta) = p/(1+e\cos\theta)\), ces extrêmes sont atteints lorsque le dénominateur est maximal (\(\cos\theta=1\)) et minimal (\(\cos\theta=-1\)).
Mini-Cours
Le périgée \(r_p\) et l'apogée \(r_a\) sont les deux points qui définissent le grand axe de l'ellipse orbitale. La longueur du grand axe est \(2a = r_p + r_a\). Ces deux points sont fondamentaux car ils déterminent les limites de l'orbite. La vitesse du satellite est maximale au périgée et minimale à l'apogée, une conséquence directe de la conservation du moment cinétique (\(C=rv_\theta = \text{constante}\)).
Remarque Pédagogique
Le calcul de \(r_p\) est une étape de sécurité cruciale dans la conception d'une mission. On doit absolument s'assurer que \(r_p\) est supérieur au rayon de l'astre central, augmenté de son atmosphère éventuelle, pour éviter une collision ou une rentrée atmosphérique non désirée.
Normes
Les termes "périgée" (pour la Terre) et "apogée" font partie de la terminologie standard de l'Union Astronomique Internationale pour décrire les orbites.
Formule(s)
Distance au périgée :
Distance à l'apogée :
Hypothèses
Ces formules ne sont valides que pour une orbite elliptique (\(0 \le e < 1\)). Pour une parabole ou une hyperbole, l'apogée n'est pas défini (il est à l'infini).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Paramètre de l'orbite | \(p\) | \(12.293 \times 10^6 \, \text{m}\) |
| Excentricité | \(e\) | \(0.229\) |
Astuces
Une bonne vérification : notre point de départ était à \(r_0 = 10000\) km, avec une vitesse purement tangentielle (\(\alpha_0=90^\circ\)). Un tel point est forcément un extrémum de distance. On doit donc s'attendre à retrouver \(r_0\) soit comme périgée, soit comme apogée. Le calcul nous dira lequel.
Schéma (Avant les calculs)
Périgée et Apogée
Calcul(s)
Calcul de la distance au périgée \(r_p\)
Calcul de la distance à l'apogée \(r_a\)
Schéma (Après les calculs)
Périgée et Apogée
Réflexions
On remarque que la distance au périgée \(r_p \approx 10002 \, \text{km}\) correspond, aux arrondis près, à la distance de lancement initiale \(r_0\). Cela confirme notre astuce : comme le lancement a été fait perpendiculairement au rayon-vecteur (vitesse radiale nulle), ce point était bien un extrémum de distance. Le calcul montre qu'il s'agit du point le plus proche de l'orbite, donc le périgée.
Points de vigilance
Ne pas inverser périgée et apogée. Le périgée est la plus petite distance, donc le dénominateur \(1+e\) doit être le plus grand. De plus, ne pas oublier que ces distances sont calculées depuis le centre de la Terre. Pour obtenir l'altitude, il faut soustraire le rayon terrestre \(R_T\).
Points à retenir
- Périgée (distance min) : \(\theta=0\), \(r_p = p/(1+e)\).
- Apogée (distance max) : \(\theta=\pi\), \(r_a = p/(1-e)\).
- Ces deux points définissent le grand axe de l'orbite.
Le saviez-vous ?
Les orbites des satellites d'observation de la Terre sont souvent choisies pour être quasi-circulaires (\(e \approx 0\)) afin de maintenir une altitude constante, tandis que les orbites de certains satellites de communication (type Molniya) sont très elliptiques pour passer un maximum de temps au-dessus d'une région spécifique de l'hémisphère nord.
FAQ
Questions fréquentes sur ce sujet.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les mêmes \(p\) et \(e\), quel serait le demi-grand axe \(a\) de l'orbite ?
Outil Interactif : Simulateur d'Orbite
Utilisez les curseurs pour modifier les conditions initiales du lancement et observez en temps réel comment la forme de l'orbite et ses caractéristiques changent. Voyez à quelle vitesse le satellite doit être lancé pour atteindre une orbite de libération !
Paramètres du Lancement
Caractéristiques de l'Orbite
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle quantité est conservée car la force de gravitation est centrale ?
2. Une orbite elliptique correspond à une énergie mécanique totale...
3. Que se passe-t-il si on augmente significativement la vitesse de lancement d'un satellite en orbite elliptique ?
4. À quel point de son orbite elliptique la vitesse d'un satellite est-elle maximale ?
5. Une excentricité \(e=0\) correspond à une trajectoire...
Glossaire
- Champ de Force Central
- Un champ de force où le vecteur force est toujours dirigé vers ou à partir d'un point fixe, le centre de force, et dont l'intensité ne dépend que de la distance à ce centre.
- Moment Cinétique (\(\vec{L}\))
- Vecteur fondamental en mécanique qui caractérise la "quantité de rotation" d'un corps. Pour un point matériel, \(\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}\). Sa conservation dans un champ central impose le mouvement plan.
- Excentricité (\(e\))
- Un nombre sans dimension qui caractérise la forme d'une conique. \(e=0\) pour un cercle, \(0 < e < 1\) pour une ellipse, \(e=1\) pour une parabole, et \(e > 1\) pour une hyperbole.
- Périgée / Périastre
- Le point de l'orbite le plus proche du centre de force (la Terre dans ce cas). La vitesse y est maximale.
- Apogée / Apoastre
- Le point de l'orbite le plus éloigné du centre de force. La vitesse y est minimale.
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