ÉTUDE DE PHYSIQUE

Chute Libre avec Frottements Quadratiques

Chute Libre avec Frottements Quadratiques

Chute Libre avec Frottements Quadratiques

Comprendre la Chute Libre avec Frottements Quadratiques

La chute libre idéale, où seule la force de gravité agit sur un objet, est une simplification souvent utilisée en physique. En réalité, lorsqu'un objet se déplace dans un fluide (comme l'air), il subit une force de frottement, ou traînée, qui s'oppose à son mouvement. Pour des vitesses relativement élevées, cette force de frottement est souvent modélisée comme étant proportionnelle au carré de la vitesse (frottement quadratique). La prise en compte de cette force modifie considérablement la dynamique de la chute : l'accélération n'est plus constante, et l'objet atteint une vitesse maximale appelée vitesse terminale (ou vitesse limite) lorsque la force de frottement équilibre la force de gravité.

Données de l'étude

Un objet sphérique est lâché d'une grande hauteur sans vitesse initiale. On considère que l'axe vertical \(y\) est orienté vers le bas, avec l'origine \(y=0\) au point de lâcher.

Caractéristiques de l'objet et du milieu :

  • Masse de l'objet (\(m\)) : \(2.0 \, \text{kg}\)
  • Coefficient de frottement quadratique (\(k\)) : \(0.25 \, \text{N} \cdot \text{s}^2/\text{m}^2\) (ou \(\text{kg/m}\))
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)

La force de frottement de l'air est donnée par \(F_f = k v^2\), où \(v\) est la vitesse de l'objet.

Schéma : Chute avec Frottement Quadratique
y = 0 (Départ) m P = mg F_f = kv² y Chute avec Frottements

Schéma d'un objet en chute libre soumis à la gravité et à une force de frottement quadratique.

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation différentielle du mouvement de l'objet en utilisant la deuxième loi de Newton.
  2. Déterminer l'expression littérale de la vitesse terminale (\(v_t\)) de l'objet et calculer sa valeur numérique.
  3. Montrer que l'équation différentielle du mouvement peut s'écrire sous la forme : \(\frac{dv}{dt} = g \left(1 - \frac{v^2}{v_t^2}\right)\).
  4. En résolvant cette équation différentielle (on donne la solution), trouver l'expression de la vitesse \(v(t)\) en fonction du temps, sachant que \(v(0) = 0\). La solution est de la forme \(v(t) = v_t \tanh\left(\frac{gt}{v_t}\right)\).
  5. Calculer la vitesse de l'objet après \(t = 5 \, \text{secondes}\) de chute.
  6. Quelle fraction de sa vitesse terminale l'objet a-t-il atteinte après \(5 \, \text{secondes}\) ?
  7. (Bonus) Donner l'expression de la position \(y(t)\) de l'objet en fonction du temps, en intégrant \(v(t)\) et sachant que \(y(0)=0\). La primitive de \(\tanh(u)\) est \(\ln(\cosh(u))\).

Correction : Chute Libre avec Frottements Quadratiques

Question 1 : Équation différentielle du mouvement

Principe :

On applique la deuxième loi de Newton (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)) à l'objet en chute. Les forces agissant sur l'objet sont le poids (\(P = mg\), vers le bas) et la force de frottement de l'air (\(F_f = kv^2\), vers le haut, opposée au mouvement).

Avec l'axe \(y\) orienté positivement vers le bas, l'accélération est \(a = \frac{dv}{dt}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sum F_y = ma_y \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P - F_f &= m \frac{dv}{dt} \\ mg - kv^2 &= m \frac{dv}{dt} \end{aligned} \]

Donc, l'équation différentielle du mouvement est :

\[ m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2 \]
Résultat Question 1 : L'équation différentielle du mouvement est \(m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2\).

Question 2 : Vitesse terminale (\(v_t\))

Principe :

La vitesse terminale (\(v_t\)) est atteinte lorsque l'accélération de l'objet devient nulle (\(\frac{dv}{dt} = 0\)). À ce moment, la force de frottement équilibre exactement le poids de l'objet.

Calcul de l'expression littérale :

Lorsque \(\frac{dv}{dt} = 0\), l'équation du mouvement devient :

\[ \begin{aligned} mg - kv_t^2 &= 0 \\ mg &= kv_t^2 \\ v_t^2 &= \frac{mg}{k} \\ v_t &= \sqrt{\frac{mg}{k}} \end{aligned} \]
Données spécifiques :
  • \(m = 2.0 \, \text{kg}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(k = 0.25 \, \text{kg/m}\)
Calcul numérique :
\[ \begin{aligned} v_t &= \sqrt{\frac{2.0 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2}{0.25 \, \text{kg/m}}} \\ &= \sqrt{\frac{19.62}{0.25}} \, \text{m/s} \\ &= \sqrt{78.48} \, \text{m/s} \\ &\approx 8.8589 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'expression littérale de la vitesse terminale est \(v_t = \sqrt{\frac{mg}{k}}\). Sa valeur numérique est \(v_t \approx 8.859 \, \text{m/s}\).

Question 3 : Réécriture de l'équation différentielle

Principe :

On part de l'équation différentielle \(m \frac{dv}{dt} = mg - kv^2\) et on utilise l'expression de \(v_t^2 = \frac{mg}{k}\) pour la réarranger.

Calcul :
\[ \begin{aligned} m \frac{dv}{dt} &= mg - kv^2 \\ \frac{dv}{dt} &= g - \frac{k}{m}v^2 \\ \end{aligned} \]

Puisque \(v_t^2 = \frac{mg}{k}\), on a \(\frac{k}{m} = \frac{g}{v_t^2}\). En substituant :

\[ \begin{aligned} \frac{dv}{dt} &= g - \frac{g}{v_t^2}v^2 \\ &= g \left(1 - \frac{v^2}{v_t^2}\right) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'équation différentielle peut s'écrire \(\frac{dv}{dt} = g \left(1 - \frac{v^2}{v_t^2}\right)\).

Quiz Intermédiaire 1 : Lorsque \(v = v_t\), que vaut l'accélération \(\frac{dv}{dt}\) ?

Question 4 : Expression de la vitesse \(v(t)\)

Principe :

L'équation \(\frac{dv}{dt} = g \left(1 - \frac{v^2}{v_t^2}\right)\) est une équation différentielle à variables séparables. Sa solution, pour la condition initiale \(v(0)=0\) (objet lâché sans vitesse initiale), est donnée.

Formule(s) donnée(s) :
\[v(t) = v_t \tanh\left(\frac{gt}{v_t}\right)\]

où \(\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\) est la fonction tangente hyperbolique.

Résultat Question 4 : L'expression de la vitesse en fonction du temps, pour \(v(0)=0\), est \(v(t) = v_t \tanh\left(\frac{gt}{v_t}\right)\).

Question 5 : Vitesse de l'objet après \(t = 5 \, \text{secondes}\)

Principe :

On utilise l'expression de \(v(t)\) trouvée à la question 4 avec les valeurs numériques.

Données spécifiques :
  • \(v_t \approx 8.8589 \, \text{m/s}\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(t = 5.0 \, \text{s}\)
Calcul :

Calcul de l'argument de la tangente hyperbolique :

\[ \begin{aligned} \frac{gt}{v_t} &\approx \frac{9.81 \, \text{m/s}^2 \times 5.0 \, \text{s}}{8.8589 \, \text{m/s}} \\ &\approx \frac{49.05}{8.8589} \\ &\approx 5.5371 \end{aligned} \]

Calcul de \(v(5)\) :

\[ \begin{aligned} v(5) &\approx 8.8589 \times \tanh(5.5371) \\ &\approx 8.8589 \times 0.999977 \\ &\approx 8.8587 \, \text{m/s} \end{aligned} \]

(Note: \(\tanh(x) \to 1\) lorsque \(x \to \infty\). Pour \(x \approx 5.5\), \(\tanh(x)\) est déjà très proche de 1).

Résultat Question 5 : La vitesse de l'objet après \(5 \, \text{secondes}\) est \(v(5) \approx 8.859 \, \text{m/s}\).

Question 6 : Fraction de la vitesse terminale atteinte

Principe :

On calcule le rapport \(\frac{v(5)}{v_t}\).

Données spécifiques :
  • \(v(5) \approx 8.8587 \, \text{m/s}\)
  • \(v_t \approx 8.8589 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Fraction} &= \frac{v(5)}{v_t} \\ &\approx \frac{8.8587}{8.8589} \\ &\approx 0.999977 \end{aligned} \]

En pourcentage : \(0.999977 \times 100\% \approx 99.9977\%\).

Résultat Question 6 : Après \(5 \, \text{secondes}\), l'objet a atteint environ \(99.998\%\) de sa vitesse terminale. Il est pratiquement à sa vitesse terminale.

Question 7 (Bonus) : Expression de la position \(y(t)\)

Principe :

La position \(y(t)\) est obtenue en intégrant la vitesse \(v(t)\) par rapport au temps, avec la condition initiale \(y(0)=0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ y(t) = \int_0^t v(\tau) d\tau = \int_0^t v_t \tanh\left(\frac{g\tau}{v_t}\right) d\tau \]

On donne que \(\int \tanh(u) du = \ln(\cosh(u)) + C\).
Posons \(u = \frac{g\tau}{v_t}\), alors \(du = \frac{g}{v_t}d\tau\), donc \(d\tau = \frac{v_t}{g}du\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} y(t) &= v_t \int_0^t \tanh\left(\frac{g\tau}{v_t}\right) d\tau \\ &= v_t \int_{u(0)}^{u(t)} \tanh(u) \left(\frac{v_t}{g}du\right) \\ &= \frac{v_t^2}{g} \int_{u(0)}^{u(t)} \tanh(u) du \\ &= \frac{v_t^2}{g} \left[ \ln(\cosh(u)) \right]_{u(0)}^{u(t)} \end{aligned} \]

Avec \(u(0) = 0\) et \(u(t) = \frac{gt}{v_t}\). \(\cosh(0)=1\) et \(\ln(1)=0\).

\[ \begin{aligned} y(t) &= \frac{v_t^2}{g} \left( \ln\left(\cosh\left(\frac{gt}{v_t}\right)\right) - \ln(\cosh(0)) \right) \\ &= \frac{v_t^2}{g} \ln\left(\cosh\left(\frac{gt}{v_t}\right)\right) \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'expression de la position en fonction du temps est \(y(t) = \frac{v_t^2}{g} \ln\left(\cosh\left(\frac{gt}{v_t}\right)\right)\).

Quiz Intermédiaire 2 : Sans frottement de l'air, la vitesse d'un objet en chute libre lâché sans vitesse initiale est donnée par \(v(t) = gt\). Comment se compare la vitesse avec frottement quadratique à cette valeur pour \(t > 0\) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La vitesse terminale d'un objet en chute avec frottement quadratique est atteinte lorsque :

9. Si le coefficient de frottement quadratique \(k\) augmente, la vitesse terminale \(v_t\) :

10. La fonction tangente hyperbolique \(\tanh(x)\) tend vers quelle valeur lorsque \(x\) devient très grand ?

Glossaire

Chute Libre
Mouvement d'un objet sous la seule influence de la force de gravité. Dans un contexte plus réaliste, d'autres forces comme les frottements de l'air sont prises en compte.
Frottement Quadratique
Force de résistance d'un fluide (comme l'air) qui est proportionnelle au carré de la vitesse de l'objet se déplaçant dans ce fluide (\(F_f = k v^2\)). Prédomine à des vitesses plus élevées.
Vitesse Terminale (\(v_t\))
Vitesse constante maximale atteinte par un objet en chute libre dans un fluide, lorsque la force de frottement équilibre la force de gravité, annulant ainsi l'accélération.
Coefficient de Frottement Quadratique (\(k\))
Constante de proportionnalité qui dépend de la forme de l'objet, de sa section transversale et de la densité du fluide. Unité : \(\text{kg/m}\) ou \(\text{N} \cdot \text{s}^2/\text{m}^2\).
Équation du Mouvement
Équation différentielle issue de la deuxième loi de Newton qui décrit comment la vitesse ou la position d'un objet change au cours du temps sous l'effet des forces agissant sur lui.
Tangente Hyperbolique (\(\tanh\))
Fonction mathématique définie par \(\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\). Elle varie de -1 à 1.
Cosinus Hyperbolique (\(\cosh\))
Fonction mathématique définie par \(\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\).
Chute Libre avec Frottements Quadratiques - Exercice d'Application

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