Calcul de la distance parcourue par la voiture
Contexte : La CinématiqueBranche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps sans tenir compte des causes qui le provoquent (les forces). en Mécanique Classique.
Cet exercice est une application directe des principes de la cinématique pour décrire le mouvement d'un objet. Nous allons analyser le cas simple mais fondamental d'une voiture en mouvement rectiligne uniformément accéléréMouvement d'un objet qui se déplace en ligne droite avec une accélération constante. Sa vitesse change de manière uniforme au cours du temps.. Comprendre ce scénario est essentiel pour analyser des mouvements plus complexes dans de nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les équations fondamentales de la cinématique pour calculer la vitesse et la position d'un objet à n'importe quel instant, en se basant sur ses conditions initiales.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser et appliquer la formule de la distance pour un mouvement uniformément accéléré.
- Calculer la vitesse finale d'un objet en accélération.
- Distinguer un mouvement uniforme d'un mouvement accéléré.
- Interpréter physiquement l'influence de l'accélération sur la distance parcourue.
Données de l'étude
Schéma du Mouvement de la Voiture
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \( v_0 \) | 5 | \(\text{m/s}\) |
| Accélération (constante) | \( a \) | 2 | \(\text{m/s}^2\) |
| Durée du mouvement | \( t \) | 10 | \(\text{s}\) |
Questions à traiter
- Quelle est la vitesse finale de la voiture après les 10 secondes d'accélération ?
- En utilisant la formule fondamentale de la cinématique, calculer la distance totale parcourue par la voiture pendant ces 10 secondes.
- Quelle distance la voiture aurait-elle parcourue pendant le même temps si elle n'avait pas accéléré (c'est-à-dire si elle avait conservé sa vitesse initiale de 5 m/s) ?
- Comparer les distances calculées aux questions 2 et 3 et expliquer la différence.
Les bases de la Cinématique
La cinématique est la branche de la mécanique qui décrit le mouvement. Pour un objet en mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA), son comportement est entièrement décrit par deux équations fondamentales.
1. Équation de la Vitesse
La vitesse finale (\(v\)) d'un objet après un temps \(t\) est sa vitesse initiale (\(v_0\)) augmentée du produit de son accélération (\(a\)) et du temps.
2. Équation de la Position (Distance)
La distance parcourue (\(d\)) dépend de la vitesse initiale, du temps, et de l'accélération. Elle est la somme de la distance qui aurait été parcourue sans accélération (\(v_0 t\)) et de la distance supplémentaire due à l'accélération (\(\frac{1}{2} a t^2\)).
Correction : Calcul de la distance parcourue par la voiture
Question 1 : Quelle est la vitesse finale de la voiture après les 10 secondes d'accélération ?
Principe
Le concept physique ici est que l'accélération constante provoque une augmentation linéaire de la vitesse avec le temps. Pour trouver la vitesse finale, nous ajoutons simplement l'augmentation totale de vitesse (produit de l'accélération et du temps) à la vitesse de départ.
Mini-Cours
En cinématique, l'accélération est définie comme la dérivée de la vitesse par rapport au temps (\(a = dv/dt\)). Pour une accélération constante, en intégrant cette relation, on obtient \(v(t) = at + C\), où C est la constante d'intégration. À \(t=0\), \(v(0) = C\), ce qui correspond à la vitesse initiale \(v_0\). On retrouve ainsi la formule \(v(t) = v_0 + at\).
Remarque Pédagogique
Pensez à l'accélération comme à un "générateur de vitesse". Chaque seconde, elle ajoute une quantité fixe de vitesse à la voiture. Ici, elle ajoute 2 m/s chaque seconde. Sur 10 secondes, elle aura donc ajouté \(2 \times 10 = 20\) m/s à la vitesse initiale.
Normes
Ce problème relève de la physique fondamentale et n'est pas régi par des normes d'ingénierie spécifiques (comme les Eurocodes en structure). Les équations utilisées sont des lois universelles de la mécanique classique.
Formule(s)
Équation de la vitesse
Hypothèses
Pour que ce calcul soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le mouvement est parfaitement rectiligne.
- L'accélération \(a\) est rigoureusement constante.
- La résistance de l'air et les forces de frottement sont négligées.
- La voiture est modélisée comme un point matériel (ses dimensions sont ignorées).
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée, tirés de l'énoncé, sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 5 | \(\text{m/s}\) |
| Accélération | \(a\) | 2 | \(\text{m/s}^2\) |
| Temps | \(t\) | 10 | \(\text{s}\) |
Astuces
Pour vérifier rapidement un ordre de grandeur, vous pouvez convertir les m/s en km/h en multipliant par 3.6. Une vitesse initiale de 5 m/s correspond à 18 km/h. Une vitesse finale de 25 m/s correspond à 90 km/h. L'augmentation semble cohérente pour une forte accélération sur 10 secondes.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons l'évolution de la vitesse sur un axe temporel.
Évolution de la vitesse
Calcul(s)
Calcul de la vitesse finale
Schéma (Après les calculs)
Le graphique vitesse-temps est une droite, montrant l'augmentation linéaire de la vitesse.
Graphique Vitesse en fonction du Temps
Réflexions
La vitesse finale est de 25 m/s. Cette valeur est nettement supérieure à la vitesse initiale, ce qui est logique compte tenu de l'accélération positive appliquée pendant une durée non négligeable de 10 secondes. Le résultat est physiquement cohérent.
Points de vigilance
Le principal point de vigilance est la cohérence des unités. Assurez-vous que le temps est en secondes, la vitesse en m/s et l'accélération en m/s². Un mélange d'unités (par exemple, des km/h et des secondes) conduirait à un résultat erroné.
Points à retenir
Pour un mouvement avec accélération constante, la vitesse augmente ou diminue de manière uniforme. La formule \(v = v_0 + at\) est l'un des piliers de la cinématique et doit être parfaitement maîtrisée.
Le saviez-vous ?
Galilée fut l'un des premiers scientifiques à étudier systématiquement l'accélération en utilisant des plans inclinés pour "ralentir" la gravité. Ses expériences ont jeté les bases de la description mathématique du mouvement, que Newton a ensuite formalisée.
FAQ
Si l'accélération variait avec le temps, nous ne pourrions plus utiliser cette simple formule. Il faudrait utiliser le calcul intégral pour trouver la vitesse finale en intégrant la fonction d'accélération \(a(t)\) sur l'intervalle de temps.Que se passerait-il si l'accélération n'était pas constante ?
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la vitesse finale si l'accélération était de 3 m/s² (tout le reste étant inchangé) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : La vitesse augmente linéairement avec le temps quand l'accélération est constante.
- Formule Essentielle : \(v = v_0 + a \cdot t\)
- Point de Vigilance Majeur : Toujours vérifier la cohérence des unités (m/s, m/s², s).
Question 2 : Calculer la distance totale parcourue par la voiture pendant ces 10 secondes.
Principe
La distance parcourue n'est pas simplement la vitesse finale multipliée par le temps, car la vitesse change constamment. La distance totale est la somme de deux contributions : la distance que la voiture aurait parcourue à sa vitesse initiale (mouvement uniforme) et la distance supplémentaire qu'elle gagne grâce à son accélération.
Mini-Cours
La formule de la distance \(d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) peut être démontrée en intégrant l'équation de la vitesse \(v(t) = v_0 + at\). Puisque \(v = dx/dt\), on a \(x(t) = \int (v_0 + at) dt = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 + C\). Si la position initiale \(x(0)\) est 0, alors C=0. Graphiquement, cette distance correspond à l'aire sous la courbe du graphique vitesse-temps, qui est un trapèze.
Remarque Pédagogique
Il est très utile de décomposer le calcul en deux parties pour bien comprendre. Calculez d'abord la distance "de base" (\(v_0 \times t\)) puis la distance "bonus" due à l'accélération (\(0.5 \times a \times t^2\)). Cela aide à visualiser l'impact de chaque paramètre et à éviter les erreurs de calcul.
Normes
Comme pour la question précédente, ce calcul est basé sur les lois fondamentales de la physique et non sur des normes spécifiques.
Formule(s)
Équation de la distance
Hypothèses
Les hypothèses sont identiques à celles de la première question : mouvement rectiligne, accélération constante, absence de frottements.
Donnée(s)
Nous utilisons les mêmes chiffres d'entrée :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale | \(v_0\) | 5 | \(\text{m/s}\) |
| Accélération | \(a\) | 2 | \(\text{m/s}^2\) |
| Temps | \(t\) | 10 | \(\text{s}\) |
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur, on peut calculer la vitesse moyenne. Comme l'accélération est constante, la vitesse moyenne est simplement la moyenne de la vitesse initiale et finale : \(v_{\text{moy}} = (5 + 25) / 2 = 15\) m/s. La distance totale devrait être \(v_{\text{moy}} \times t = 15 \times 10 = 150\) m. C'est un excellent moyen de vérifier son résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé est le plus pertinent ici, montrant le point de départ, le point d'arrivée, et les paramètres du mouvement.
Schéma du Mouvement de la Voiture
Calcul(s)
Calcul de la distance totale
Schéma (Après les calculs)
La distance est l'aire sous le graphique v-t. Cette aire est un trapèze qui peut être décomposé en un rectangle (partie \(v_0 t\)) et un triangle (partie \(\frac{1}{2} a t^2\)).
Aire sous la courbe Vitesse-Temps
Réflexions
Une distance de 150 mètres en 10 secondes est considérable (cela correspond à une vitesse moyenne de 54 km/h). Le résultat montre bien que l'accélération a un impact majeur sur la distance parcourue, bien plus important que celui de la vitesse initiale dans ce cas précis.
Points de vigilance
La plus grande source d'erreur dans cette formule est d'oublier de mettre le temps au carré (\(t^2\)) ou d'oublier le facteur \(\frac{1}{2}\). Vérifiez toujours votre calcul en le décomposant comme nous l'avons fait.
Points à retenir
La distance parcourue en MRUA n'est pas linéaire avec le temps, mais quadratique. Cela signifie que la distance parcourue augmente de plus en plus vite. C'est le concept clé à retenir de la formule \(d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\).
Le saviez-vous ?
Les équations de la cinématique sont fondamentales pour l'envoi de fusées et de satellites. Les ingénieurs calculent des trajectoires complexes en utilisant ces principes de base, en y ajoutant bien sûr les effets de la gravité et de la rotation de la Terre.
FAQ
Le terme quadratique (\(t^2\)) apparaît parce que la vitesse elle-même augmente avec le temps. La distance est l'intégrale de la vitesse ; l'intégrale d'un terme en \(t\) (comme dans \(at\)) donne un terme en \(t^2\). Cela représente l'effet cumulatif de l'accélération sur la distance.Pourquoi y a-t-il un terme en \(t^2\)?
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la distance totale si la vitesse initiale était de 10 m/s (tout le reste étant inchangé) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : La distance parcourue est la somme de la distance due à la vitesse initiale et de celle due à l'accélération.
- Formule Essentielle : \(d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier le carré sur le temps (\(t^2\)) et le facteur \(\frac{1}{2}\).
Question 3 : Quelle distance la voiture aurait-elle parcourue sans accélération ?
Principe
Ce cas correspond à un mouvement rectiligne uniforme, où la vitesse ne change pas. L'accélération est nulle. La distance est alors simplement le produit de la vitesse constante et du temps de parcours.
Mini-Cours
Le mouvement rectiligne uniforme est décrit par la première loi de Newton (principe d'inertie). Un objet sur lequel ne s'exerce aucune force (ou des forces qui se compensent) persévère dans un mouvement rectiligne à vitesse constante. C'est le cas le plus simple de la cinématique.
Remarque Pédagogique
Cette question sert de "cas de référence". En calculant cette distance, vous isolez l'effet de la vitesse initiale. Cela vous permettra de quantifier précisément l'apport de l'accélération dans la question suivante.
Normes
Non applicable. Il s'agit de physique fondamentale.
Formule(s)
Équation du mouvement uniforme
Hypothèses
L'hypothèse principale est que la vitesse est parfaitement constante, ce qui implique une accélération nulle.
Donnée(s)
Nous n'avons besoin que de deux des données initiales :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse initiale (constante) | \(v_0\) | 5 | \(\text{m/s}\) |
| Temps | \(t\) | 10 | \(\text{s}\) |
Astuces
Ce calcul est une simple multiplication. Il est souvent si simple que l'on peut être tenté de chercher une complication inutile. Fiez-vous à la formule de base !
Schéma (Avant les calculs)
Le mouvement est représenté par une vitesse constante tout au long du trajet.
Mouvement à Vitesse Constante
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Pour un mouvement uniforme, le graphique de la vitesse est une ligne horizontale, et celui de la position est une droite inclinée.
Graphiques du Mouvement Uniforme
Réflexions
Le résultat de 50 mètres est la distance que la voiture parcourt "par défaut" grâce à sa vitesse initiale. C'est la base sur laquelle l'accélération va ajouter une distance supplémentaire.
Points de vigilance
Ne soyez pas tenté d'utiliser la valeur de l'accélération (\(a=2\)) dans ce calcul. La question précise bien "sans accélération", ce qui signifie qu'il faut considérer \(a=0\).
Points à retenir
Le mouvement uniforme (\(d = v \cdot t\)) est le cas le plus simple de la cinématique. C'est la fondation sur laquelle les mouvements plus complexes sont construits.
Le saviez-vous ?
Le concept d'inertie, qui est la base du mouvement uniforme, a été une révolution scientifique. Avant Galilée et Newton, on pensait (suivant Aristote) qu'une force était nécessaire pour maintenir un objet en mouvement, et non seulement pour le mettre en mouvement ou changer sa vitesse.
FAQ
Très difficilement sur Terre, car il y a toujours des forces de frottement (air, route) qui s'opposent au mouvement et tendent à ralentir l'objet. Dans l'espace, loin de toute attraction gravitationnelle, un objet peut se déplacer en mouvement rectiligne uniforme pendant des milliards d'années.Un mouvement parfaitement uniforme est-il possible dans la réalité ?
Résultat Final
A vous de jouer
En combien de temps la voiture parcourrait-elle 200 mètres à cette vitesse constante de 5 m/s ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Un mouvement sans accélération est un mouvement à vitesse constante.
- Formule Essentielle : \(d = v_0 \cdot t\)
- Point de Vigilance Majeur : Ne pas inclure le terme d'accélération dans le calcul.
Question 4 : Comparer les distances calculées et expliquer la différence.
Principe
L'objectif est de quantifier et d'expliquer l'impact de l'accélération. En soustrayant la distance du mouvement uniforme de la distance du mouvement accéléré, on isole la contribution pure de l'accélération.
Mini-Cours
La différence entre les deux distances, \(\Delta d = d_{\text{accéléré}} - d_{\text{uniforme}}\), est égale à \((v_0 t + \frac{1}{2} a t^2) - (v_0 t) = \frac{1}{2} a t^2\). Cette différence représente physiquement la distance qui n'aurait pas été parcourue si la vitesse était restée constante. C'est l'aire du triangle supérieur sur le graphique vitesse-temps.
Remarque Pédagogique
Cette comparaison est cruciale. Elle montre que l'accélération ne fait pas que modifier la vitesse finale, elle a un effet cumulatif et quadratique sur la distance. C'est pourquoi il est beaucoup plus long de s'arrêter depuis une grande vitesse.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Calcul de la différence
Hypothèses
Les hypothèses des questions précédentes s'appliquent toujours.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats finaux des questions 2 et 3 :
- Distance avec accélération : 150 m
- Distance sans accélération : 50 m
Astuces
Vous pouvez retrouver directement la différence en calculant le terme \(\frac{1}{2} a t^2\). \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (10)^2 = 100\) m. Cela confirme que la différence est uniquement due au terme d'accélération.
Schéma (Avant les calculs)
Le graphique v-t est idéal pour visualiser la différence : l'aire du rectangle représente la distance sans accélération, et l'aire du triangle au-dessus représente la distance supplémentaire due à l'accélération.
Décomposition de la Distance
Calcul(s)
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Un diagramme en barres montre clairement la différence d'échelle entre les deux scénarios.
Comparaison des Distances Parcourues
Réflexions
L'accélération a ajouté 100 mètres à la distance parcourue, ce qui est le double de la distance qui aurait été parcourue sans elle. Cela met en évidence la puissance de l'effet quadratique du temps dans la formule de la distance. L'impact de l'accélération devient rapidement dominant sur celui de la vitesse initiale.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien comprendre ce que chaque terme de la formule représente physiquement. Le terme \(v_0 t\) est la contribution linéaire de la vitesse initiale, tandis que le terme \(\frac{1}{2} a t^2\) est la contribution quadratique de l'accélération.
Points à retenir
La distance parcourue par un objet en accélération n'est pas proportionnelle au temps, mais à une combinaison d'un terme en \(t\) et d'un terme en \(t^2\). L'accélération a un effet beaucoup plus important sur la distance que ne le suggère sa simple valeur numérique, surtout sur de longues durées.
Le saviez-vous ?
Les voitures de Formule 1 peuvent accélérer de 0 à 100 km/h (environ 28 m/s) en moins de 3 secondes. Cela correspond à une accélération moyenne de plus de 9 m/s², proche de l'accélération de la pesanteur terrestre (g ≈ 9.81 m/s²). Le pilote ressent donc une force qui le plaque à son siège équivalente à son propre poids.
FAQ
Oui. La distance supplémentaire due à l'accélération, \(\frac{1}{2} a t^2\), ne dépend que de l'accélération et du temps, pas de la vitesse initiale. Donc, même si la voiture partait de 20 m/s, elle parcourrait toujours 100 mètres de plus que si elle avait maintenu ses 20 m/s constants.Cette différence de 100m serait-elle la même si la vitesse initiale était différente ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si la distance supplémentaire due à l'accélération était de 200m (en 10s), quelle aurait été l'accélération ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : L'impact de l'accélération sur la distance est quantifiable et indépendant de la vitesse initiale.
- Formule Essentielle : \(\Delta d = \frac{1}{2} a t^2\)
- Point de Vigilance Majeur : Comprendre que l'effet de l'accélération sur la distance est quadratique, pas linéaire.
Outil Interactif : Simulateur de Mouvement
Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la vitesse initiale et l'accélération de la voiture. Observez en temps réel comment ces changements affectent la vitesse finale et la distance parcourue en 10 secondes. Le graphique montre l'évolution de la distance au cours du temps.
Paramètres d'Entrée (pour t=10s)
Résultats Clés (après 10s)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si une voiture part de l'arrêt (\(v_0=0\)) et accélère à 3 m/s², quelle distance parcourt-elle en 2 secondes ?
2. Quelle est l'unité de l'accélération dans le Système International ?
3. Si l'accélération est négative, cela signifie que...
4. Dans la formule \(d = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\), si \(a = 0\), la distance parcourue est...
5. Si on double le temps d'accélération, par combien est multipliée la distance due à l'accélération (\(\frac{1}{2}at^2\)) ?
- Cinématique
- Branche de la mécanique qui étudie le mouvement des corps (position, vitesse, accélération) sans s'intéresser aux forces qui le provoquent.
- Accélération
- Le taux de variation de la vitesse d'un objet par unité de temps. Une accélération positive signifie que l'objet va plus vite, une accélération négative qu'il ralentit.
- Vitesse
- Le taux de variation de la position d'un objet ; elle possède une magnitude (la "rapidité") et une direction.
- Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA)
- Le mouvement d'un point matériel qui se déplace en ligne droite et dont l'accélération est constante.
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